Pergunta

(3 pontos) Dos 40 alunos de uma turma 8 foram reprovados ca mainmatical 6 em portugués c 5 em ciencias. 5 foram repros adine em matemitica e portugués, 3 em matemática e cienciase 2 cm cienciase portupols Sabendo seque 2 alunos foram reprovados nas tre materias. (a) quantos alunos foram reprovados somente em matematica?
Solução

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Olivia MariaMestre · Tutor por 5 anos
Responder
Para resolver esse problema, podemos usar o princípio da inclusão-exclusão.
Vamos chamar:
- M de alunos reprovados em Matemática
- P de alunos reprovados em Português
- C de alunos reprovados em Ciências
Dado:
- |M| = 8
- |P| = 6
- |C| = 5
- |M \cap P| = 5
- |M \cap C| = 3
- |P \cap C| = 2
- |M \cap P \cap C| = 2
- |M \cup P \cup C| = 40 - 2 = 38 (pois 2 alunos foram reprovados em todas as três matérias)
Queremos encontrar quantos alunos foram reprovados somente em Matemática, ou seja, |M \cap \overline{P} \cap \overline{C}| .
Primeiro, vamos calcular quantos alunos foram reprovados em pelo menos uma matéria:
|M \cup P \cup C| = 38
Agora, vamos calcular quantos alunos foram reprovados em exatamente uma matéria:
|M \cap \overline{P} \cap \overline{C}| = |M| - |M \cap P| - |M \cap C| + |M \cap P \cap C|
|M \cap \overline{P} \cap \overline{C}| = 8 - 5 - 3 + 2 = 2
Portanto, 2 alunos foram reprovados somente em Matemática.
Vamos chamar:
- M de alunos reprovados em Matemática
- P de alunos reprovados em Português
- C de alunos reprovados em Ciências
Dado:
- |M| = 8
- |P| = 6
- |C| = 5
- |M \cap P| = 5
- |M \cap C| = 3
- |P \cap C| = 2
- |M \cap P \cap C| = 2
- |M \cup P \cup C| = 40 - 2 = 38 (pois 2 alunos foram reprovados em todas as três matérias)
Queremos encontrar quantos alunos foram reprovados somente em Matemática, ou seja, |M \cap \overline{P} \cap \overline{C}| .
Primeiro, vamos calcular quantos alunos foram reprovados em pelo menos uma matéria:
|M \cup P \cup C| = 38
Agora, vamos calcular quantos alunos foram reprovados em exatamente uma matéria:
|M \cap \overline{P} \cap \overline{C}| = |M| - |M \cap P| - |M \cap C| + |M \cap P \cap C|
|M \cap \overline{P} \cap \overline{C}| = 8 - 5 - 3 + 2 = 2
Portanto, 2 alunos foram reprovados somente em Matemática.
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