1. (2 pontos) Sabe -se que y=c_(1)+c_(2)cosx+c_(3)senx é uma familia de soluçōes para y'''+y'=0 em IR. Encontre um membro desta familia que satisfaça as condições iniciais y(pi )=0,y'(pi )=2e y''(pi )=-1

Para encontrar um membro da família de soluções que satisfaça as condições iniciais dadas, podemos usar o método dos coeficientes indeterminados. Vamos encontrar os coeficientes $c_1$, $c_2$ e $c_3$ que satisfazem as condições iniciais.

Dadas as condições iniciais:
$$y(\pi) = 0$$
$$y'(\pi) = 2e$$
$$y''(\pi) = -1$$

Primeiro, vamos calcular as derivadas de $y$:
$$y' = -c_2 \sin(x) + c_3 \cos(x)$$
$$y'' = -c_2 \cos(x) - c_3 \sin(x)$$

Agora, substituímos $x = \pi$ nas equações acima:
$$y(\pi) = c_1 + c_2 \cos(\pi) + c_3 \sin(\pi) = c_1 - c_2 = 0$$
$$y'(\pi) = -c_2 \sin(\pi) + c_3 \cos(\pi) = -c_3 = 2e$$
$$y''(\pi) = -c_2 \cos(\pi) - c_3 \sin(\pi) = c_2 = -1$$

Resolvendo essas equações, obtemos:
$$c_1 - c_2 = 0$$
$$-c_3 = 2e$$
$$c_2 = -1$$

Portanto, $c_2 = -1$ e $c_3 = -2e$. Substituindo $c_2$ e $c_3$ na equação $c_1 - c_2 = 0$, obtemos $c_1 = 1$.

Assim, um membro da família de soluções que satisfaz as condições iniciais é:
$$y = 1 - \cos(x) - 2e \sin(x)$$