(MACKENZIE, 2008 -Adaptada) 0 valor de k para o qual (cosx+senx)^2+kcdot senxcdot cosx-1=0 é uma identidade . é __ A) -1 B) -2 C) 0 D) 1 E) 2

Para resolver essa equação, vamos usar algumas identidades trigonométricas.

Primeiro, vamos expandir o termo $$(\cos x + \sin x)^2$$ :

$$(\cos x + \sin x)^2 = \cos^2 x + 2\cos x \sin x + \sin^2 x$$

Sabemos que $$\cos^2 x + \sin^2 x = 1$$ , então podemos simplificar a expressão:

$$(\cos x + \sin x)^2 = 1 + 2\cos x \sin x$$

Agora, vamos substituir essa expressão na equação original:

$$1 + 2\cos x \sin x + k \cdot \sin x \cdot \cos x - 1 = 0$$

Simplificando, temos:

$$2\cos x \sin x + k \cdot \sin x \cdot \cos x = 0$$

Fatorando $$\cos x \sin x$$ , obtemos:

$$\cos x \sin x (2 + k) = 0$$

Para que essa equação seja verdadeira, ou $$\cos x \sin x = 0$$ ou $$2 + k = 0$$ .

Se $$\cos x \sin x = 0$$ , então ou $$\cos x = 0$$ ou $$\sin x = 0$$ . No entanto, isso não nos ajuda a encontrar o valor de $$k$$ .

Se $$2 + k = 0$$ , então $$k = -2$$ .

Portanto, a resposta correta é a opção B) $$-2$$ .