3. Em uma pesquisa com um grupo de 128 es- tudantes de uma universidade , 70 afirma- ram praticar atividades fisicas regularmente, 59 afirmaran adotar hábitos saudáveis de alimentação e 12 afirmaram não adotar ne- nhuma dessas práticas.Quantos estudantes desse grupo têm os dois hábitos?

Para resolver esse problema, podemos usar o princípio da inclusão-exclusão. Sabemos que 70 estudantes praticam atividades físicas regularmente, 59 adotam hábitos saudáveis de alimentação e 12 não adotam nenhum dessas práticas. Vamos chamar o conjunto de estudantes que praticam atividades físicas regularmente de A, o conjunto de estudantes que adotam hábitos saudáveis de alimentação de B e o conjunto de estudantes que não adotam nenhum dessas práticas de C.

Temos que |A| = 70, |B| = 59 e |C| = 12. Queremos encontrar o número de estudantes que têm os dois hábitos, ou seja, |A ∩ B|.

Podemos usar a fórmula da inclusão-exclusão para encontrar |A ∪ B|, que é o número de estudantes que praticam atividades físicas regularmente ou adotam hábitos saudáveis de alimentação:

|A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|

Sabemos que o total de estudantes é 128, então:

128 = |A ∪ B| + |C|

Substituindo |A ∪ B| na fórmula da inclusão-exclusão:

128 = (|A| + |B| - |A ∩ B|) + |C|

Substituindo os valores conhecidos:

128 = (70 + 59 - |A ∩ B|) + 12

128 = 141 - |A ∩ B|

|A ∩ B| = 141 - 128

|A ∩ B| = 13

Portanto, 13 estudantes desse grupo têm os dois hábitos.