2. (2 pontos ) Resolva os problemas de valor inicialResolva os problemas de valor inicial abaixo: (a) ) (dy)/(dx)=(2x-y)/(x-2y) y(1)=3 (b) ) ydx+x(lnx-lny-1)dy=0 y(1)=e

(a) Para resolver o problema de valor inicial dado, podemos usar o método de separação de variáveis. Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial na forma padrão:

$$\frac{dy}{dx} = \frac{2x - y}{x - 2y}$$

Multiplicando ambos os lados por $$dx$$ , temos:

$$dy = \frac{2x - y}{x - 2y} dx$$

Agora, podemos separar as variáveis $$y$$ e $$x$$ :

$$\frac{dy}{y - \frac{2x}{2}} = \frac{dx}{x - 2y}$$

Integrando ambos os lados, obtemos:

$$\int \frac{dy}{y - \frac{2x}{2}} = \int \frac{dx}{x - 2y}$$

Para resolver essa integral, podemos fazer uma substituição adequada. Vamos definir $$u = y - \frac{2x}{2}$$ , então $$du = dy - x dx$$ . Substituindo isso na integral, temos:

$$\int \frac{du}{u} = \int \frac{x dx}{x - 2y}$$

A integral do lado esquerdo é simplesmente $$\ln|u|$$ . Para a integral do lado direito, podemos fazer uma substituição semelhante. Vamos definir $$v = x - 2y$$ , então $$dv = dx - 2 dy$$ . Substituindo isso na integral, temos:

$$\ln|u| = \int \frac{x dx}{x - 2y}$$

Para resolver essa integral, podemos usar a substituição $$u = x - 2y$$ , então $$du = dx - 2 dy$$ . Substituindo isso na integral, temos:

$$\ln|u| = \int \frac{x dx}{u}$$

A integral do lado direito é simplesmente $$\ln|x|$$ . Portanto, temos:

$$\ln|u| = \ln|x| + C$$

onde $$C$$ é uma constante de integração. Agora, podemos resolver para $$u$$ :

$$u = x e^{C}$$

Substituindo $$u = y - \frac{2x}{2}$$ , temos:

$$y - \frac{2x}{2} = x e^{C}$$

Simplificando, obtemos:

$$y = x \left(1 + e^{C}\right)$$

Agora, podemos usar a condição inicial $$y(1) = 3$$ para encontrar o valor de $$C$$ . Substituindo $$x = 1$$ e $$y = 3$$ na equação, temos:

$$3 = 1 \left(1 + e^{C}\right)$$

Simplificando, obtemos:

$$e^{C} = 2$$

Portanto, $$C = \ln(2)$$ . Substituindo isso na equação para $$y$$ , temos:

$$y = x \left(1 + \ln(2)\right)$$

(b) Para resolver o problema de valor inicial dado, podemos usar o método de separação de variáveis novamente. Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial na forma padrão:

$$y dx + x (\ln x - \ln y - 1) dy = 0$$

Multiplicando ambos os lados por $$dx$$ , temos:

$$y dx + x (\ln x - \ln y - 1) dy = 0$$

Agora, podemos separar as variáveis $$y$$ e $$x$$ :

$$\frac{dy}{y (\ln x - \ln y - 1)} = -\frac{dx}{x}$$

Integrando ambos os lados, obtemos:

$$\int \frac{dy}{y (\ln x - \ln y - 1)} = -\int \frac{dx}{x}$$

Para resolver essa integral, podemos usar a substituição $$u = \ln x - \ln y - 1$$ , então $$du = \frac{dx}{x} - \frac{dy}{y}$$ . Substituindo isso na integral, temos:

$$\int \frac{du}{u} = -\int \frac{dx}{x}$$

A integral do lado esquerdo é simplesmente $$\ln|u|$$ . Para a integral do lado direito, podemos usar a substituição $$v = \ln x$$ , então $$dv = \frac{dx}{x}$$ . Substituindo isso na integral, temos:

$$\ln|u| = -v + C$$

onde $$C$$ é uma constante de integração. Agora, podemos resolver para $$u$$ :

$u = e^{-v