Determinar kin R , de modo que o sistema kx+y=3x+ky=5 tenha uma única solução. a. . kneq pm 4 b. . kneq pm 2 C. . kneq pm 1 d. . kneq pm 3 e. kneq pm 5

Para determinar o valor de \( k \) para que o sistema \( kx + y = 3x + ky = 5 \) tenha uma única solução, precisamos analisar a matriz de coeficientes do sistema.<br /><br />O sistema pode ser reescrito como:<br /><br />\[<br />\begin{cases}<br />kx + y = 5 \\<br />3x + ky = 5<br />\end{cases}<br />\]<br /><br />Podemos escrever isso na forma de uma matriz de coeficientes:<br /><br />\[<br />\begin{pmatrix}<br />k & 1 \\<br />3 & k<br />\end{pmatrix}<br />\begin{pmatrix}<br />x \\<br />y<br />\end{pmatrix}<br />=<br />\begin{pmatrix}<br />5 \\<br />5<br />\end{pmatrix}<br />\]<br /><br />Para que o sistema tenha uma única solução, a matriz de coeficientes deve ser invertível, o que ocorre quando o determinante da matriz é diferente de zero.<br /><br />Calculamos o determinante da matriz de coeficientes:<br /><br />\[<br />\text{det} \begin{pmatrix}<br />k & 1 \\<br />3 & k<br />\end{pmatrix} = k \cdot k - 1 \cdot 3 = k^2 - 3<br />\]<br /><br />Para que o determinante seja diferente de zero, temos:<br /><br />\[<br />k^2 - 3 \neq 0 \implies k^2 \neq 3 \implies k \neq \pm \sqrt{3}<br />\]<br /><br />Portanto, a resposta correta é:<br /><br />Nenhuma das opções fornecidas está correta.