Seja W um subconjunto de um espaço vetorial real, V . Dizemos que W é subespaço de V , se para quaisquer vetores u e v , de W , e para qualquer número real k , entalo um vetor z da forma z=u+k.v é um vetor de W . Sobre subespaços vetoriais reais, qual das sentenças abaixo NÃO É VERDADEIRA? A) O subconjunto W do R^(2) , definido por W=((x,y)inR^(2)∣x=5y) , é um subespaço de R^(2) . B) O subconjunto W do R^(2) , definido por W=((x,y)inR^(2)∣x=x^(2)) , não é um subespaço de R^(2) . C) 0 subconjunto W do R^(2) , definido por W=((x,y)inR^(2)∣x=-x-4) , não é um subespaço de R^(2) . D) O subconjunto W do R^(2) , definido por W=((x,y)inR^(2)∣x-y=0) , não é um subespaço de R^(2) .

<p> Para ser um subespaço de um espaço vetorial V, um conjunto W deve satisfazer três condições: (1) o zero vetorial de V deve estar em W; (2) W deve ser fechado sob adição de vetores (se u e v são elementos de W, então u+v também deve estar em W); e (3) W deve ser fechado sob multiplicação por escalares (se v é um elemento de W e k é um escalar, então k*v também deve estar em W).<br />Analisando cada opção:<br />A) \(W=\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x=5y\}\) claramente contém o zero vetorial (0,0), é fechado sob adição de vetores e multiplicação por escalares, então é um subespaço de \(\mathbb{R}^{2}\).<br />B) \(W=\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x=x^{2}\}\) não é fechado sob adição ou multiplicação por escalares, pois não para todos x em reais se tem que x + k*x^2 (x diferente de 0 e 1) resultados em um termo que pertence a relação \(x=x^2\). Portanto, não é um subespaço de \(\mathbb{R}^{2}\).<br />C) Abordando \(W=\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x=-x-4\}\), pode-se ver rapidamente que essa relação é uma impossibilidade para qualquer vetor real, exceto se x for um número que satisfizesse x=-x-4, o que não existe. Portanto, W não pode ser um subespaço porque sequer é bem-definido, e não contém nenhum vetor, inclusive o vetor zero.<br />D) \(W=\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid x-y=0\}\) contém o zero vetorial (0,0), é fechado sob adição e também sob multiplicação por escalares (ambas as operações mantêm a igualdade entre x e y).<br />Logo, a sentença que NÃO É VERDADEIRA a respeito de subespaços vetoriais é a opção C, pois essa relação matemática não descreve um conjunto de vetores em \(\mathbb{R}^2\) e, portanto, não pode ser um subespaço.</p>