Exercício 6.20 Considere o operador T sobre R^3 definido por: T(x,y,z)=(x+2y-z,3y+z,4z) Determine os autovalores e os autovetores do operador T.

Para determinar os autovalores e os autovetores do operador T, precisamos encontrar os valores de λ que satisfazem a equação T(v) = λv, onde v é um vetor no espaço vetorial R^3.<br /><br />Começando pelos autovalores, podemos fazer isso encontrando a matriz diagonalizável de T. Para isso, calculamos o kernel e o imagem de T.<br /><br />O kernel de T é o conjunto de vetores x tal que T(x) = 0. Podemos encontrar o kernel resolvendo o sistema linear T(x) = 0:<br /><br />(x + 2y - z, 3y + z, 4z) = (0, 0, 0)<br /><br />Isso nos dá o seguinte sistema de equações:<br /><br />x + 2y - z = 0<br />3y + z = 0<br />4z = 0<br /><br />Resolvendo esse sistema, encontramos que o kernel de T é gerado pelo vetor (2, -1/3, 0).<br /><br />O imagem de T é o conjunto de vetores y tal que existe um vetor x no espaço vetorial R^3 tal que T(x) = y. Podemos encontrar a imagem encontrando as colunas da matriz de T.<br /><br />A matriz de T é:<br /><br />| 1 2 -1 |<br />| 0 3 1 |<br />| 0 0 4 |<br /><br />Podemos observar que as colunas dessa matriz são linearmente independentes, o que implica que a imagem de T é igual ao espaço vetorial R^3.<br /><br />Agora, podemos encontrar os autovalores de T calculando a matriz diagonal correspondente. Podemos fazer isso encontrando a matriz inversa de T e depois calculando a matriz diagonal de T.<br /><br />A matriz inversa de T é:<br /><br />| 3/10 -1/10 1/10 |<br />| -1/10 1/10 0 |<br />| 0 0 1 |<br /><br />Calculando a matriz diagonal de T, encontramos:<br /><br />| 1 0 0 |<br />| 0 1 0 |<br />| 0 0 4 |<br /><br />Portanto, os autovalores de T são 1 e 4.<br /><br />Para encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor, podemos usar o processo de eliminação de Gauss-Jordan para encontrar a base do espaço eigenspace correspondente a cada autovalor.<br /><br />Para o autovalor 1, o espaço eigenspace é gerado pelo vetor (2, -1, 0).<br /><br />Para o autovalor 4, o espaço eigenspace é gerado pelo vetor (0, 0, 1).<br /><br />Portanto, os autovetores de T são (2, -1, 0) e (0, 0, 1).