2. (2 pontos ) (a) Escreva o limite abaixo como uma integral definida. lim _(narrow infty )(1)/(n)sum _(i=1)^n(5)/(1+(frac (i)(n))^2)

Para escrever o limite dado como uma integral definida, podemos reconhecer que ele se assemelha à definição de uma integral de Riemann. A expressão \(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} f\left(\frac{i}{n}\right)\) é uma soma de Riemann para a função \(f(x)\) no intervalo de integração de 0 a 1.<br /><br />No caso do limite fornecido:<br /><br />\[<br />\lim _{n\rightarrow \infty }\frac {1}{n}\sum _{i=1}^{n}\frac {5}{1+(\frac {i}{n})^{2}}<br />\]<br /><br />podemos identificar a função \(f(x) = \frac{5}{1+x^2}\).<br /><br />Assim, o limite pode ser escrito como a integral definida:<br /><br />\[<br />\int_{0}^{1} \frac{5}{1+x^2} \, dx<br />\]