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Matemática
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Questão 6: Um projétil é lançado para cima, e sua altura h(t) em metros após t segundos é dada pela função h(t)=-5t^2+30t+10 a) Qual é a altura máxima alcançada pelo projétil? b) Após quantos segundos ele atinge essa altura máxima? c) Em quanto tempo o projétil atinge o solo?

Pergunta

Questão 6: Um projétil é lançado para cima, e
sua altura h(t) em metros após t segundos é
dada pela função h(t)=-5t^2+30t+10
a) Qual é a altura máxima alcançada pelo
projétil?
b) Após quantos segundos ele atinge essa
altura máxima?
c) Em quanto tempo o projétil atinge o solo?

Questão 6: Um projétil é lançado para cima, e sua altura h(t) em metros após t segundos é dada pela função h(t)=-5t^2+30t+10 a) Qual é a altura máxima alcançada pelo projétil? b) Após quantos segundos ele atinge essa altura máxima? c) Em quanto tempo o projétil atinge o solo?

Solução

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SantiagoElite · Tutor por 8 anos

Responder

Para resolver essas questões, precisamos analisar a função \( h(t) = -5t^2 + 30t + 10 \).<br /><br />### a) Altura máxima alcançada pelo projétil<br /><br />A altura máxima é alcançada no vértice da parábola. Para encontrar o vértice de uma parábola dada por \( ax^2 + bx + c \), usamos a fórmula \( t = -\frac{b}{2a} \).<br /><br />Aqui, \( a = -5 \) e \( b = 30 \).<br /><br />\[ t = -\frac{30}{2(-5)} = \frac{30}{10} = 3 \]<br /><br />Para encontrar a altura máxima, substituímos \( t = 3 \) na função \( h(t) \):<br /><br />\[ h(3) = -5(3)^2 + 30(3) + 10 \]<br />\[ h(3) = -5(9) + 90 + 10 \]<br />\[ h(3) = -45 + 90 + 10 \]<br />\[ h(3) = 55 \]<br /><br />Portanto, a altura máxima alcançada pelo projétil é 55 metros.<br /><br />### b) Tempo para atingir a altura máxima<br /><br />Como calculado anteriormente, o projétil atinge a altura máxima após 3 segundos.<br /><br />### c) Tempo para atingir o solo<br /><br />O projétil atinge o solo quando \( h(t) = 0 \). Para encontrar esse tempo, resolvemos a equação \( -5t^2 + 30t + 10 = 0 \).<br /><br />Usamos a fórmula de Bhaskara para resolver a equação quadrática \( at^2 + bt + c = 0 \):<br /><br />\[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]<br /><br />Aqui, \( a = -5 \), \( b = 30 \), e \( c = 10 \).<br /><br />\[ t = \frac{-30 \pm \sqrt{30^2 - 4(-5)(10)}}{2(-5)} \]<br />\[ t = \frac{-30 \pm \sqrt{900 + 200}}{-10} \]<br />\[ t = \frac{-30 \pm \sqrt{1100}}{-10} \]<br />\[ t = \frac{-30 \pm 10\sqrt{11}}{-10} \]<br />\[ t = 3 \mp \sqrt{11} \]<br /><br />Como o tempo não pode ser negativo, consideramos a solução positiva:<br /><br />\[ t = 3 + \sqrt{11} \]<br /><br />Portanto, o projétil atinge o solo após \( 3 + \sqrt{11} \) segundos.
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