09. Ao dividirmos o polinômio P(x)=(x-3)^3+(x-2)^2 por(x+1)cdot (x-1) obtemos o resto na forma R(x)=ax+bNestas condições, o valor de a^2-b^2 é igual a in -385 (B) -399 (C) -388 (D) -397 (E) -398 10. Encontre o valor de,K para que o resto da divisão de P(x)=5x^2-4kx+2 por 2x-6 seja5, emarqueaopção correta. (A) (9)/(2) (D) (10)/(2) (7)/(2) (E) (12)/(2) (C) (11)/(2)

09. Para encontrar o valor de \(a^2 - b^2\), primeiro precisamos calcular o resto da divisão do polinômio \(P(x) = (x-3)^3 + (x-2)^2\) por \((x+1) \cdot (x-1)\).<br /><br />Podemos usar o teorema do resto para calcular o resto da divisão. O teorema do resto diz que, se um polinômio \(P(x)\) for dividido por \((x-a)\), o resto será igual a \(P(a)\).<br /><br />Aplicando o teorema do resto, temos:<br /><br />\(R(1) = P(1) = (1-3)^3 + (1-2)^2 = (-2)^3 + (-1)^2 = -8 + 1 = -7\)<br /><br />\(R(-1) = P(-1) = (-1-3)^3 + (-1-2)^2 = (-4)^3 + (-3)^2 = -64 + 9 = -55\)<br /><br />Portanto, o resto da divisão é \(R(x) = -7(x+1)(x-1)\).<br /><br />Comparando com a forma \(R(x) = ax + b\), temos \(a = -7\) e \(b = 0\).<br /><br />Agora, podemos calcular \(a^2 - b^2\):<br /><br />\(a^2 - b^2 = (-7)^2 - 0^2 = 49 - 0 = 49\)<br /><br />Portanto, o valor de \(a^2 - b^2\) é igual a 49.<br /><br />A resposta correta é nenhuma das opções fornecidas.<br /><br />10. Para encontrar o valor de \(k\) para que o resto da divisão de \(P(x) = 5x^2 - 4kx + 2\) por \(2x - 6\) seja 5, podemos usar o teorema do resto.<br /><br />Aplicando o teorema do resto, temos:<br /><br />\(R(3) = P(3) = 5(3)^2 - 4k(3) + 2 = 45 - 12k + 2 = 47 - 12k\)<br /><br />Para que o resto seja igual a 5, temos:<br /><br />\(47 - 12k = 5\)<br /><br />Resolvendo essa equação, temos:<br /><br />\(12k = 47 - 5\)<br /><br />\(12k = 42\)<br /><br />\(k = \frac{42}{12} = \frac{7}{2}\)<br /><br />Portanto, o valor de \(k\) para que o resto seja igual a 5 é \(\frac{7}{2}\).<br /><br />A resposta correta é a opção (C) \(\frac{7}{2}\).