18. A solução da equação (log_(2)(x))^-1+ (log_(3)(x))^-1+(log_(4)(x))^-1+(log_(5)(x))^-1=2 A) . 2sqrt (30) B) . 3sqrt (10) C) 2sqrt (10) D) 3sqrt (30)

Para resolver essa equação, podemos começar igualando cada termo da equação a uma variável. Assim, temos:<br /><br />$(log_{2}(x))^{-1} = a$<br />$(log_{3}(x))^{-1} = b$<br />$(log_{4}(x))^{-1} = c$<br />$(log_{5}(x))^{-1} = d$<br /><br />A equação fica então:<br /><br />$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d} = 2$<br /><br />Podemos observar que $\frac{1}{a}$, $\frac{1}{b}$, $\frac{1}{c}$ e $\frac{1}{d}$ são as inversas dos logaritmos de base 2, 3, 4 e 5, respectivamente. Sabemos que a soma dessas inversas é igual a 2.<br /><br />Agora, podemos usar a propriedade dos logaritmos que diz que $\frac{1}{log_{b}(x)} = log_{x}(b)$. Aplicando essa propriedade, temos:<br /><br />$log_{x}(2) + log_{x}(3) + log_{x}(4) + log_{x}(5) = 2$<br /><br />Usando a propriedade dos logaritmos que diz que $log_{b}(mn) = log_{b}(m) + log_{b}(n)$, podemos simplificar a expressão:<br /><br />$log_{x}(2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5) = 2$<br /><br />$log_{x}(120) = 2$<br /><br />Podemos reescrever a equação em termos de exponenciação:<br /><br />$x^{2} = 120$<br /><br />$x = \sqrt{120}$<br /><br />Simplificando a raiz quadrada de 120, temos:<br /><br />$x = 2\sqrt{30}$<br /><br />Portanto, a solução da equação é $2\sqrt{30}$, que corresponde à opção A.