(5,0 pts) Encontrar os autovalores e os autovetores de Tin L(V) nos seguintes casos: a V=R^2,T(x,y)=(x+y,x-y)

Para encontrar os autovalores e autovetores da transformação linear \( T \), precisamos resolver a equação característica \( \text{det}(T - \lambda I) = 0 \), onde \( \lambda \) é um autovalor.<br /><br />Dada a transformação \( T(x, y) = (x + y, x - y) \), podemos escrever a matriz de \( T \) como:<br /><br />\[ A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \]<br /><br />Calculando o determinante de \( A - \lambda I \):<br /><br />\[ \text{det}(A - \lambda I) = \text{det}\begin{pmatrix} 1 - \lambda & 1 \\ 1 & -1 - \lambda \end{pmatrix} \]<br /><br />\[ = (1 - \lambda)(-1 - \lambda) - 1 \cdot 1 \]<br /><br />\[ = \lambda^2 - 2\lambda - 2 \]<br /><br />Igualando o determinante a zero para encontrar os autovalores:<br /><br />\[ \lambda^2 - 2\lambda - 2 = 0 \]<br /><br />Resolvendo essa equação quadrática, encontramos os autovalores \( \lambda_1 = 1 + \sqrt{3} \) e \( \lambda_2 = 1 - \sqrt{3} \).<br /><br />Para encontrar os autovetores correspondentes, substituímos cada valor de \( \lambda \) na equação \( (A - \lambda I) \mathbf{v} = 0 \) e resolvemos para \( \mathbf{v} \).<br /><br />Para \( \lambda_1 = 1 + \sqrt{3} \):<br /><br />\[ \begin{pmatrix} 1 - (1 + \sqrt{3}) & 1 \\ 1 & -1 - (1 + \sqrt{3}) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \]<br /><br />\[ \begin{pmatrix} -\sqrt{3} & 1 \\ 1 & -2 - \sqrt{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \]<br /><br />Resolvendo essa equação, encontramos o autovetor correspondente \( \mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} \sqrt{3} \\ 1 \end{pmatrix} \).<br /><br />Para \( \lambda_2 = 1 - \sqrt{3} \):<br /><br />\[ \begin{pmatrix} 1 - (1 - \sqrt{3}) & 1 \\ 1 & -1 - (1 - \sqrt{3}) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \]<br /><br />\[ \begin{pmatrix} \sqrt{3} & 1 \\ 1 & -2 + \sqrt{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \]<br /><br />Resolvendo essa equação, encontramos o autovetor correspondente \( \mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -\sqrt{3} \end{pmatrix} \).<br /><br />Portanto, os autovalores são \( \lambda_1 = 1 + \sqrt{3} \) e \( \lambda_2 = 1 - \sqrt{3} \), e os autovetores correspondentes são \( \mathbf{v}_1 = \begin{pmatrix} \sqrt{3} \\ 1 \end{pmatrix} \) e \( \mathbf{v}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -\sqrt{3} \end{pmatrix} \).