888888888 83888 88888888 8883 888383 (x)/(x-1)+(x)/(x-2)geqslant 0

Para resolver a inequação $\frac{x}{x-1}+\frac{x}{x-2}\geqslant 0$, primeiro encontramos um denominador comum:<br /><br />$\frac{x(x-2)}{(x-1)(x-2)}+\frac{x(x-1)}{(x-1)(x-2)}\geqslant 0$<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />$\frac{x^2-2x+x-2}{(x-1)(x-2)}\geqslant 0$<br /><br />$\frac{x^2-x-2}{(x-1)(x-2)}\geqslant 0$<br /><br />A inequação será satisfeita quando o numerador for positivo ou o denominador for negativo. Analisando o numerador, temos:<br /><br />$x^2-x-2=(x-2)(x+1)$<br /><br />Portanto, a inequação se torna:<br /><br />$\frac{(x-2)(x+1)}{(x-1)(x-2)}\geqslant 0$<br /><br />Cancelando o fator comum $(x-2)$, temos:<br /><br />$\frac{x+1}{x-1}\geqslant 0$<br /><br />A inequação será satisfeita quando ambos os fatores sejam iguais ou quando um deles seja negativo. Portanto, a solução é:<br /><br />$x+1\geqslant 0$ e $x-1<0$<br /><br />$x\geqslant -1$ e $x<1$<br /><br />Portanto, a solução da inequação é $-1\leqslant x<1$.