) 2^ngt n^3,forall ngeqslant 10

Para provar que $2^n > n^3$ para todo $n \geq 10$, podemos usar uma prova por indução matemática.

**Base da indução:**
Quando $n = 10$, temos $2^{10} = 1024$ e $10^3 = 1000$. Portanto, $2^{10} > 10^3$.

**Hipótese de indução:**
Supomos que $2^k > k^3$ para algum $k \geq 10$.

**Passo da indução:**
Queremos mostrar que $2^{k+1} > (k+1)^3$.

Começamos multiplicando ambos os lados da hipótese de indução por 2:
$$2 \cdot 2^k > 2 \cdot k^3$$

Usando a propriedade das potências, podemos reescrever o lado esquerdo como $2^{k+1}$:
$$2^{k+1} > 2k^3$$

Agora, precisamos mostrar que $2k^3 > (k+1)^3$. Podemos expandir o lado direito da desigualdade:
$$(k+1)^3 = k^3 + 3k^2 + 3k + 1$$

Como $k \geq 10$, temos $3k^2 + 3k + 1 > 0$, então:
$$2k^3 > k^3 + 3k^2 + 3k + 1$$

Portanto, $2^{k+1} > (k+1)^3$.

Concluímos que a afirmação é verdadeira para $n = 10$ e que, se é verdadeira para algum $k \geq 10$, também é verdadeira para $k+1$. Portanto, $2^n > n^3$ para todo $n \geq 10$.