2. Integração Regiōes não Retangulares - Calcule a integral iint _(D)x^2e^xydA onde D é a região definida por D= (x,y)vert 0leqslant xleqslant 2,(x)/(4)xleqslant yleqslant 2

Para calcular a integral \(\iint_{D} x^{2}e^{xy}dA\) sobre a região \(D\) definida por \(D=\{ (x,y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 2, \frac{x}{4} \leqslant y \leqslant 2 \}\), podemos usar a técnica de integração por partes e considerar a ordem de integração.<br /><br />Vamos primeiro definir a integral de forma explícita:<br /><br />\[<br />\iint_{D} x^{2}e^{xy}dA = \int_{0}^{2} \int_{\frac{x}{4}}^{2} x^{2}e^{xy} \, dy \, dx<br />\]<br /><br />Vamos calcular a integral interna \(\int_{\frac{x}{4}}^{2} x^{2}e^{xy} \, dy\):<br /><br />\[<br />\int_{\frac{x}{4}}^{2} x^{2}e^{xy} \, dy<br />\]<br /><br />Para isso, vamos considerar \(u = xy\). Então, \(du = y \, dx + x \, dy\). Reescrevendo a integral em termos de \(u\):<br /><br />\[<br />\int_{\frac{x}{4}}^{2} x^{2}e^{xy} \, dy = \int_{\frac{x}{4}x}^{2x} e^u \, du<br />\]<br /><br />onde os limites de \(u\) são de \(\frac{x}{4}x\) a \(2x\). Simplificando, temos:<br /><br />\[<br />\int_{\frac{x}{4}}^{2} x^{2}e^{xy} \, dy = \int_{\frac{x^2}{4}}^{2x} e^u \, du<br />\]<br /><br />Agora, podemos calcular a integral externa \(\int_{0}^{2} \int_{\frac{x}{4}}^{2} x^{2}e^{xy} \, dy \, dx\):<br /><br />\[<br />\int_{0}^{2} \int_{\frac{x}{4}}^{2} x^{2}e^{xy} \, dy \, dx = \int_{0}^{2} \left[ x^{2}e^{xy} \right]_{\frac{x}{4}}^{2} \, dx<br />\]<br /><br />Calculando os limites:<br /><br />\[<br />= \int_{0}^{2} \left( x^{2}e^{x \cdot 2} - x^{2}e^{x \cdot \frac{x}{4}} \right) \, dx<br />\]<br /><br />\[<br />= \int_{0}^{2} \left( x^{2}e^{2x} - x^{2}e^{\frac{x^2}{4}} \right) \, dx<br />\]<br /><br />Agora, podemos calcular a integral externa:<br /><br />\[<br />\int_{0}^{2} \left( x^{2}e^{2x} - x^{2}e^{\frac{x^2}{4}} \right) \, dx<br />\]<br /><br />Para isso, podemos usar propriedades de integração e decompor a integral em duas partes:<br /><br />\[<br />\int_{0}^{2} x^{2}e^{2x} \, dx - \int_{0}^{2} x^{2}e^{\frac{x^2}{4}} \, dx<br />\]<br /><br />Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.<br /><br />Para a primeira integral:<br /><br />\[<br />\int_{0}^{2} x^{2}e^{2x} \, dx<br />\]<br /><br />Podemos usar integração por partes. Seja \(u = x^2\) e \(dv = 2xe^{2x} \, dx\). Então, \(du = 2x \, dx\) e \(v = e^{2x}\).<br /><br />\[<br />\int_{0}^{2} x^{2}e^{2x} \, dx = \left. x^2 e^{2x} \right|_{0}^{2} - \int_{0}^{2} 2xe^{2x} \, dx<br />\]<br /><br />Calculando os limites:<br /><br />\[<br />= \left( 2^2 e^{2 \cdot 2} - 0 \right) - \int_{0}^{2} 2xe^{2x} \, dx<br />\]<br /><br />\[<br />= 4e^4 - 2 \int_{0}^{2} xe^{2x} \, dx<br />\]<br /><br />Para a segunda integral:<br /><br />\[<br />\int_{0}^{2}