8-Determine o valor de m na funçáo real f(x)=-3 x^2 +2(m-1) x+(m+1) para que o valor máximo seja 2

Para determinar o valor de \( m \) na função \( f(x)=-3x^{2}+2(m-1)x+(m+1) \) para que o valor máximo seja 2, podemos utilizar o conceito de vértice da parábola.<br /><br />A função quadrática \( f(x)=-3x^{2}+2(m-1)x+(m+1) \) é uma parábola com coeficiente negativo, o que significa que ela abre para baixo. Portanto, o vértice da parábola será o ponto de máximo.<br /><br />Para encontrar o vértice, podemos utilizar a fórmula \( x = -\frac{b}{2a} \), onde \( a \) é o coeficiente do termo quadrático e \( b \) é o coeficiente do termo linear.<br /><br />No caso da função dada, temos \( a = -3 \) e \( b = 2(m-1) \). Substituindo esses valores na fórmula, temos:<br /><br />\( x = -\frac{2(m-1)}{2(-3)} \)<br /><br />Simplificando, temos:<br /><br />\( x = \frac{m-1}{3} \)<br /><br />Agora, substituindo esse valor de \( x \) na função original, temos:<br /><br />\( f\left(\frac{m-1}{3}\right) = -3\left(\frac{m-1}{3}\right)^{2} + 2(m-1)\left(\frac{m-1}{3}\right) + (m+1) \)<br /><br />Simplificando essa expressão, temos:<br /><br />\( f\left(\frac{m-1}{3}\right) = -\frac{(m-1)^{2}}{3} + \frac{2(m-1)^{2}}{3} + (m+1) \)<br /><br />\( f\left(\frac{m-1}{3}\right) = \frac{(m-1)^{2}}{3} + (m+1) \)<br /><br />Para que o valor máximo seja 2, basta igualar essa expressão a 2:<br /><br />\( \frac{(m-1)^{2}}{3} + (m+1) = 2 \)<br /><br />Multiplicando toda a equação por 3 para eliminar o denominador, temos:<br /><br />\( (m-1)^{2} + 3(m+1) = 6 \)<br /><br />Expandindo e simplificando, temos:<br /><br />\( m^{2} - 2m + 1 + 3m + 3 = 6 \)<br /><br />\( m^{2} + m + 4 = 6 \)<br /><br />\( m^{2} + m - 2 = 0 \)<br /><br />Fatorando essa equação quadrática, temos:<br /><br />\( (m-1)(m+2) = 0 \)<br /><br />Portanto, as soluções para \( m \) são \( m = 1 \) e \( m = -2 \). No entanto, se substituirmos \( m = 1 \) na função original, ela se torna uma linha reta, o que não é uma função quadrática. Portanto, a única solução válida é \( m = -2 \).