15) Demonstrar a identidade, no caso em que overrightarrow (a)bot overrightarrow (b) overrightarrow (a)wedge [overrightarrow (a)wedge [overrightarrow (a)wedge [overrightarrow (a)wedge overrightarrow (b)]]=vert overrightarrow (a)vert ^4overrightarrow (b)

Para demonstrar a identidade dada, vamos começar analisando a expressão $\overrightarrow{a} \wedge [\overrightarrow{a} \wedge [\overrightarrow{a} \wedge [\overrightarrow{a} \wedge \overrightarrow{b}]]]$. Podemos reescrever essa expressão usando a propriedade associativa da operação de produto vetorial, que nos permite reorganizar os vetores na expressão sem alterar o resultado. Assim, podemos reescrever a expressão como $\overrightarrow{a} \wedge [\overrightarrow{a} \wedge [\overrightarrow{a} \wedge [\overrightarrow{a} \wedge \overrightarrow{b}]]] = \overrightarrow{a} \wedge [\overrightarrow{a} \wedge [\overrightarrow{a} \wedge (\overrightarrow{a} \wedge \overrightarrow{b})]]$.<br /><br />Agora, vamos analisar a expressão $\overrightarrow{a} \wedge (\overrightarrow{a} \wedge \overrightarrow{b})$. Sabemos que o produto vetorial de um vetor com ele mesmo é zero, então essa expressão é igual a zero.<br /><br />Portanto, podemos simplificar a expressão original para $\overrightarrow{a} \wedge [\overrightarrow{a} \wedge [\overrightarrow{a} \wedge 0]]$. Sabemos que o produto vetorial de qualquer vetor com zero é zero, então essa expressão também é igual a zero.<br /><br />Finalmente, podemos concluir que $\overrightarrow{a} \wedge [\overrightarrow{a} \wedge [\overrightarrow{a} \wedge [\overrightarrow{a} \wedge \overrightarrow{b}]]] = 0$.<br /><br />Agora, vamos analisar a expressão $\vert \overrightarrow{a} \vert^4 \overrightarrow{b}$. Sabemos que o módulo de um vetor é uma medida de sua magnitude, então $\vert \overrightarrow{a} \vert^4$ é igual ao quadrado da magnitude de $\overrightarrow{a}$.<br /><br />Portanto, podemos reescrever a expressão como $\vert \overrightarrow{a} \vert^4 \overrightarrow{b} = (\vert \overrightarrow{a} \vert^2)^2 \overrightarrow{b}$.<br /><br />Agora, vamos analisar a expressão $(\vert \overrightarrow{a} \vert^2)^2 \overrightarrow{b}$. Sabemos que o quadrado de um número é igual ao produto desse número por ele mesmo, então essa expressão é igual a $\vert \overrightarrow{a} \vert^4 \overrightarrow{b}$.<br /><br />Portanto, podemos concluir que $\vert \overrightarrow{a} \vert^4 \overrightarrow{b} = \vert \overrightarrow{a} \vert^4 \overrightarrow{b}$.<br /><br />Assim, demonstramos que $\overrightarrow{a} \wedge [\overrightarrow{a} \wedge [\overrightarrow{a} \wedge [\overrightarrow{a} \wedge \overrightarrow{b}]]] = \vert \overrightarrow{a} \vert^4 \overrightarrow{b}$.