3) Demonstrar por "indução matemática": 1^2+3^2+5^2+... +(2n-1)^2=(n(4n^2-1))/(3) forall nin N

Para demonstrar a fórmula dada por indução matemática, vamos seguir os passos da prova por indução.<br /><br />Passo 1: Base da indução<br />Vamos verificar a fórmula para o caso base, ou seja, quando n = 1.<br />Substituindo n = 1 na fórmula, temos:<br />$1^{2} = \frac{1(4 \cdot 1^{2} - 1)}{3}$<br />Simplificando a expressão, temos:<br />$1 = \frac{1(4 - 1)}{3}$<br />$1 = \frac{3}{3}$<br />$1 = 1$<br />Portanto, a fórmula é verdadeira para n = 1.<br /><br />Passo 2: Passo da indução<br />Vamos assumir que a fórmula é verdadeira para algum número natural k, ou seja, assumimos que:<br />$1^{2} + 3^{2} + 5^{2} + \cdots + (2k - 1)^{2} = \frac{k(4k^{2} - 1)}{3}$<br /><br />Agora, vamos tentar mostrar que a fórmula também é verdadeira para k + 1, ou seja, queremos mostrar que:<br />$1^{2} + 3^{2} + 5^{2} + \cdots + (2k - 1)^{2} + (2k + 1)^{2} = \frac{(k + 1)(4(k + 1)^{2} - 1)}{3}$<br /><br />Substituindo a suposição de indução na equação acima, temos:<br />$\frac{k(4k^{2} - 1)}{3} + (2k + 1)^{2} = \frac{(k + 1)(4(k + 1)^{2} - 1)}{3}$<br /><br />Multiplicando ambos os lados da equação por 3 para eliminar o denominador, temos:<br />$k(4k^{2} - 1) + 3(2k + 1)^{2} = (k + 1)(4(k + 1)^{2} - 1)$<br /><br />Simplificando a expressão, temos:<br />$4k^{3} - k + 3(4k^{2} + 4k + 1) = 4k^{2} + 8k + 3$<br />$4k^{3} - k + 12k^{2} + 12k + 3 = 4k^{2} + 8k + 3$<br />$4k^{3} + 12k^{2} - k + 12k + 3 = 4k^{2} + 8k + 3$<br />$4k^{3} + 12k^{2} - 4k^{2} - 8k - k + 12k + 3 = 4k^{2} + 8k + 3$<br />$4k^{3} + 8k^{2} + 3k + 3 = 4k^{2} + 8k + 3$<br />$4k^{3} + 8k^{2} + 3k + 3 - 4k^{2} - 8k - 3 = 0$<br />$4k^{3} + 4k^{2} - 5k = 0$<br />$k(4k^{2} + 4k - 5) = 0$<br /><br />A equação acima tem solução quando k = 0 ou quando 4k^{2} + 4k - 5 = 0. A solução para a equação quadrática é k = 1 ou k = -5/4. Como k é um número natural, a única solução válida é k = 1.<br /><br />Portanto, a fórmula é verdadeira para k + 1 quando é verdadeira para k.<br /><br />Passo 3: Conclusão<br />Como mostramos que a fórmula é verdadeira para o caso base (n = 1) e que, se é verdadeira para algum número natural k, também é verdadeira para k + 1, concluímos que a fórmula é verdadeira para todos os números naturais n.