3) CALCULE A DERIVADA DIRECIONAL DA funçāo f(x, y, z)=x y^3-3 z NO PONTO a=(1,0,1) Dietção u=((1)/(sqrt(3)), (1)/(sqrt(3)), (1)/(sqrt(3)))

Para calcular a derivada direcional da função \( f(x, y, z) = xy^3 - 3z \) no ponto \( a = (1, 0, 1) \) na direção \( u = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right) \), siga estes passos:<br /><br />1. Calcule as derivadas parciais de \( f \) em relação a \( x \), \( y \) e \( z \):<br /> \[<br /> \frac{\partial f}{\partial x} = y^3<br /> \]<br /> \[<br /> \frac{\partial f}{\partial y} = 3xy^2<br /> \]<br /> \[<br /> \frac{\partial f}{\partial z} = -3<br /> \]<br /><br />2. Avalie as derivadas parciais no ponto \( a = (1, 0, 1) \):<br /> \[<br /> \left. \frac{\partial f}{\partial x} \right|_{(1, 0, 1)} = 0^3 = 0<br /> \]<br /> \[<br /> \left. \frac{\partial f}{\partial y} \right|_{(1, 0, 1)} = 3 \cdot 1 \cdot 0^2 = 0<br /> \]<br /> \[<br /> \left. \frac{\partial f}{\partial z} \right|_{(1, 0, 1)} = -3<br /> \]<br /><br />3. Calcule o produto escalar de \( \nabla f(a) \) com \( u \):<br /> \[<br /> \nabla f(a) = (0, 0, -3)<br /> \]<br /> \[<br /> u = \left(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}\right)<br /> \]<br /> \[<br /> \nabla f(a) \cdot u = 0 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} + 0 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} + (-3) \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{3}{\sqrt{3}} = -\sqrt{3}<br /> \]<br /><br />Portanto, a derivada direcional da função \( f \) no ponto \( a \) na direção \( u \) é \( -\sqrt{3} \).