4. Sabendo que cos'=-sinesin'=cos calcule a derivada segunda de f:(0,pi )arrow R dada por f(x):=ln(sqrt (sin(x)))

Para calcular a segunda derivada de \( f(x) = \ln(\sqrt{\sin(x)}) \), vamos seguir os seguintes passos:<br /><br />1. **Primeira Derivada:**<br /><br /> Primeiro, simplificamos a função \( f(x) \):<br /> \[<br /> f(x) = \ln(\sqrt{\sin(x)}) = \frac{1}{2} \ln(\sin(x))<br /> \]<br /><br /> Agora, derivamos \( f(x) \):<br /> \[<br /> f'(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sin(x)} \cdot \cos(x) = \frac{\cos(x)}{2\sin(x)}<br /> \]<br /><br />2. **Segunda Derivada:**<br /><br /> Agora, derivamos \( f'(x) \):<br /> \[<br /> f'(x) = \frac{\cos(x)}{2\sin(x)}<br /> \]<br /><br /> Usamos a regra do quociente para derivar \( f'(x) \):<br /> \[<br /> f''(x) = \frac{(\sin(x) \cdot \cos(x))' - (\cos(x) \cdot \sin(x))'}{(2\sin(x))^2}<br /> \]<br /><br /> Calculamos as derivadas dos termos no numerador:<br /> \[<br /> (\sin(x) \cdot \cos(x))' = \cos(x) \cdot \cos(x) - \sin(x) \cdot \sin(x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)<br /> \]<br /> \[<br /> (\cos(x) \cdot \sin(x))' = \cos(x) \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot \sin(x) = \cos^2(x) + \sin^2(x)<br /> \]<br /><br /> Substituímos essas derivadas na fórmula do quociente:<br /> \[<br /> f''(x) = \frac{(\cos^2(x) - \sin^2(x)) - (\cos^2(x) + \sin^2(x))}{4\sin^2(x)}<br /> \]<br /><br /> Simplificamos o numerador:<br /> \[<br /> f''(x) = \frac{\cos^2(x) - \sin^2(x) - \cos^2(x) - \sin^2(x)}{4\sin^2(x)} = \frac{-2\sin^2(x)}{4\sin^2(x)} = \frac{-1}{2}<br /> \]<br /><br />Portanto, a segunda derivada de \( f(x) = \ln(\sqrt{\sin(x)}) \) é:<br />\[<br />f''(x) = \frac{-1}{2}<br />\]