1. Calcule ((1-i)^2)/(2)-((1-i)^2)/(4)-((1-i)^2)/(8)-((i-i)^2)/(16) Resolução: 2. Determine o número complexo z, tal que zcdot bar (z)+(z-bar (z))=13+6i Resolução:

1. Vamos calcular a expressão dada:<br /><br />Primeiro, calculemos \((1-i)^2\):<br /><br />\[<br />(1-i)^2 = (1-i)(1-i) = 1 - 2i + i^2 = 1 - 2i - 1 = -2i<br />\]<br /><br />Agora, substituímos \(-2i\) na expressão original:<br /><br />\[<br />\frac{(1-i)^2}{2} - \frac{(1-i)^2}{4} - \frac{(1-i)^2}{8} - \frac{(i-i)^2}{16}<br />\]<br /><br />Substituindo \((1-i)^2 = -2i\):<br /><br />\[<br />\frac{-2i}{2} - \frac{-2i}{4} - \frac{-2i}{8} - \frac{0}{16}<br />\]<br /><br />Calculando cada termo:<br /><br />\[<br />\frac{-2i}{2} = -i, \quad \frac{-2i}{4} = -\frac{i}{2}, \quad \frac{-2i}{8} = -\frac{i}{4}<br />\]<br /><br />A soma dos termos é:<br /><br />\[<br />-i + \left(-\frac{i}{2}\right) + \left(-\frac{i}{4}\right) = -i - \frac{i}{2} - \frac{i}{4}<br />\]<br /><br />Para somar, colocamos todos os termos sobre o mesmo denominador:<br /><br />\[<br />-\frac{4i}{4} - \frac{2i}{4} - \frac{i}{4} = -\frac{7i}{4}<br />\]<br /><br />Portanto, o resultado da expressão é \(-\frac{7i}{4}\).<br /><br />2. Precisamos determinar o número complexo \(z\) tal que:<br /><br />\[ z \cdot \bar{z} + (z - \bar{z}) = 13 + 6i \]<br /><br />Sabemos que \(z \cdot \bar{z} = |z|^2\), e \(z - \bar{z} = 2i \cdot \text{Im}(z)\).<br /><br />Assim, a equação se torna:<br /><br />\[ |z|^2 + 2i \cdot \text{Im}(z) = 13 + 6i \]<br /><br />Comparando as partes real e imaginária, temos:<br /><br />1. Parte real: \(|z|^2 = 13\)<br />2. Parte imaginária: \(2 \cdot \text{Im}(z) = 6 \Rightarrow \text{Im}(z) = 3\)<br /><br />Seja \(z = a + bi\). Então, \(\text{Im}(z) = b = 3\).<br /><br />Agora, usando \(|z|^2 = a^2 + b^2 = 13\):<br /><br />\[ a^2 + 3^2 = 13 \]<br />\[ a^2 + 9 = 13 \]<br />\[ a^2 = 4 \]<br />\[ a = \pm 2 \]<br /><br />Portanto, os possíveis valores de \(z\) são \(z = 2 + 3i\) ou \(z = -2 + 3i\).