8.Encontre os autovalores e autovetores de A^25 A=(} -1&-2&-2 1&2&1 -1&-1&0 )

Para encontrar os autovalores e autovetores de $A^{25}$, precisamos primeiro encontrar os autovalores e autovetores de $A$. <br /><br />Os autovalores de $A$ são as soluções de $\det(A - \lambda I) = 0$, onde $\lambda$ é um escalar. <br /><br />Calculando o determinante de $A - \lambda I$, temos:<br /><br />$\det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} -1-\lambda & -2 & -2 \\ 1 & 2-\lambda & 1 \\ -1 & -1 & -\lambda \end{vmatrix}$<br /><br />Resolvendo a equação $\det(A - \lambda I) = 0$, encontramos os autovalores de $A$:<br /><br />$\lambda_1 = 1$, $\lambda_2 = 2$, $\lambda_3 = 3$<br /><br />Agora, precisamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para isso, resolvemos $(A - \lambda I)X = 0$, onde $X$ é um vetor.<br /><br />Para $\lambda_1 = 1$:<br /><br />$(A - I)X = 0$<br /><br />$\begin{pmatrix} -2 & -2 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$<br /><br />Resolvendo o sistema de equações, encontramos o autovetor correspondente a $\lambda_1 = 1$:<br /><br />$X_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$<br /><br />Para $\lambda_2 = 2$:<br /><br />$(A - 2I)X = 0$<br /><br />$\begin{pmatrix} -3 & -2 & -2 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$<br /><br />Resolvendo o sistema de equações, encontramos o autovetor correspondente a $\lambda_2 = 2$:<br /><br />$X_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$<br /><br />Para $\lambda_3 = 3$:<br /><br />$(A - 3I)X = 0$<br /><br />$\begin{pmatrix} -4 & -2 & -2 \\ 1 & -1 & 1 \\ -1 & -1 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$<br /><br />Resolvendo o sistema de equações, encontramos o autovetor correspondente a $\lambda_3 = 3$:<br /><br />$X_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$<br /><br />Agora, para encontrar os autovalores e autovetores de $A^{25}$, usamos a propriedade de potência de autovalores:<br /><br />$\text{If } \lambda \text{ is an eigenvalue of } A \text{ with eigenvector } v, \text{ then } \lambda^{25} \text{ is an eigenvalue of } A^{25} \text{ with eigenvector } v^{25}.$<br /><br />Portanto, os autovalores de $A^{25}$ são $\lambda_1^{25}, \lambda_2^{25}, \lambda_3^{25}$, e os autovetores correspondentes são $X_1^{25}, X_2^{25}, X_3^{25}$.<br /><br />Os autovalores de $A^{25}$ são: $1^{25}, 2^{25}, 3^{25}$.<br /><br />Os autovetores correspondentes são: $X_1^{25}, X_2^{25}, X_3^{25}$.