2. Resolva as equações fracionárias em R (x+1)/(x-2)=x-3 b) (x)/(x-2)+3=2x c) (x^2-3)/(x-2)-(1)/(2)=-(2)/(x-2)

Vamos resolver cada uma das equações fracionárias passo a passo:<br /><br />### a) \(\frac{x+1}{x-2} = x - 3\)<br /><br />Para eliminar o denominador, multiplicamos ambos os lados da equação por \(x - 2\):<br /><br />\[<br />x + 1 = (x - 3)(x - 2)<br />\]<br /><br />Expandindo o lado direito:<br /><br />\[<br />x + 1 = x^2 - 5x + 6<br />\]<br /><br />Reorganizando todos os termos para formar uma equação quadrática:<br /><br />\[<br />x^2 - 5x + 6 - x - 1 = 0<br />\]<br /><br />Simplificando:<br /><br />\[<br />x^2 - 6x + 5 = 0<br />\]<br /><br />Fatorando a equação quadrática:<br /><br />\[<br />(x - 1)(x - 5) = 0<br />\]<br /><br />Portanto, as soluções são:<br /><br />\[<br />x = 1 \quad \text{ou} \quad x = 5<br />\]<br /><br />### b) \(\frac{x}{x-2} + 3 = 2x\)<br /><br />Para eliminar o denominador, multiplicamos ambos os lados da equação por \(x - 2\):<br /><br />\[<br />x + 3(x - 2) = 2x(x - 2)<br />\]<br /><br />Expandindo e simplificando:<br /><br />\[<br />x + 3x - 6 = 2x^2 - 4x<br />\]<br /><br />Reorganizando todos os termos para formar uma equação quadrática:<br /><br />\[<br />2x^2 - 4x - x - 3x + 6 = 0<br />\]<br /><br />Simplificando:<br /><br />\[<br />2x^2 - 8x + 6 = 0<br />\]<br /><br />Dividindo todos os termos por 2:<br /><br />\[<br />x^2 - 4x + 3 = 0<br />\]<br /><br />Fatorando a equação quadrática:<br /><br />\[<br />(x - 1)(x - 3) = 0<br />\]<br /><br />Portanto, as soluções são:<br /><br />\[<br />x = 1 \quad \text{ou} \quad x = 3<br />\]<br /><br />### c) \(\frac{x^2 - 3}{x - 2} - \frac{1}{2} = -\frac{2}{x - 2}\)<br /><br />Para eliminar os denominadores, multiplicamos ambos os lados da equação por \(2(x - 2)\):<br /><br />\[<br />2(x - 2)\left(\frac{x^2 - 3}{x - 2}\right) - 2(x - 2)\left(\frac{1}{2}\right) = 2(x - 2)\left(-\frac{2}{x - 2}\right)<br />\]<br /><br />Simplificando:<br /><br />\[<br />2(x^2 - 3) - (x - 2) = -4<br />\]<br /><br />Expandindo e simplificando:<br /><br />\[<br />2x^2 - 6 - x + 2 = -4<br />\]<br /><br />Reorganizando todos os termos para formar uma equação quadrática:<br /><br />\[<br />2x^2 - x - 6 + 2 = -4<br />\]<br /><br />Simplificando:<br /><br />\[<br />2x^2 - x - 4 = 0<br />\]<br /><br />Dividindo todos os termos por 2:<br /><br />\[<br />x^2 - \frac{x}{2} - 2 = 0<br />\]<br /><br />Multiplicando todos os termos por 2 para eliminar o denominador:<br /><br />\[<br />2x^2 - x - 4 = 0<br />\]<br /><br />Fatorando a equação quadrática:<br /><br />\[<br />(2x + 1)(x - 2) = 0<br />\]<br /><br />Portanto, as soluções são:<br /><br />\[<br />x = -\frac{1}{2} \quad \text{ou} \quad x = 2<br />\]<br /><br />No entanto, \(x = 2\) não é uma solução válida, pois ela torna o denominador zero na equação original. Portanto, a única solução válida é:<br /><br />\[<br />x = -\frac{1}{2}<br />\]