a 3 valor de a para que seja 45^circ o ângulo entre os vetores overrightarrow (u)=(2,1) e overrightarrow (v)=(1,a) a=-3oua=-(1)/(3)

Para encontrar o valor de \(a\) para que o ângulo entre os vetores \(\overrightarrow{u} = (2, 1)\) e \(\overrightarrow{v} = (1, a)\) seja^\circ\), podemos usar a fórmula do produto interno:<br /><br />\[<br />\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \|\overrightarrow{u}\| \|\overrightarrow{v}\| \cos(\theta)<br />\]<br /><br />Onde \(\theta\) é o ângulo entre os vetores. Sabemos que \(\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}\).<br /><br />Calculando o produto interno:<br /><br />\[<br />\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = (2 \cdot 1) + (1 \cdot a) = 2 + a<br />\]<br /><br />Calculando as normas dos vetores:<br /><br />\[<br />\|\overrightarrow{u}\| = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}<br />\]<br /><br />\[<br />\|\overrightarrow{v}\| = \sqrt{1^2 + a^2} = \sqrt{1 + a^2}<br />\]<br /><br />Substituindo na fórmula do produto interno:<br /><br />\[<br />2 + a = \sqrt{5} \cdot \sqrt{1 + a^2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}<br />\]<br /><br />Multiplicando ambos os lados por \(2\):<br /><br />\[<br />4 + 2a = \sqrt{10} \cdot \sqrt{1 + a^2}<br />\]<br /><br />Elevando ambos os lados ao quadrado:<br /><br />\[<br />(4 + 2a)^2 = 10(1 + a^2)<br />\]<br /><br />Expandindo e simplificando:<br /><br />\[<br />16 + 16a + 4a^2 = 10 + 10a^2<br />\]<br /><br />\[<br />16a + 4a^2 = 10a^2 - 10<br />\]<br /><br />\[<br />4a^2 - 10a^2 = -10 - 16a<br />\]<br /><br />\[<br />-6a^2 = -10 - 16a<br />\]<br /><br />Multiplicando ambos os lados por \(-1\):<br /><br />\[<br />6a^2 = 10 + 16a<br />\]<br /><br />Reorganizando a equação:<br /><br />\[<br />6a^2 - 16a - 10 = 0<br />\]<br /><br />Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:<br /><br />\[<br />a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}<br />\]<br /><br />Onde \(a = 6\), \(b = -16\), e \(c = -10\):<br /><br />\[<br />a = \frac{16 \pm \sqrt{(-16)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-10)}}{2 \cdot 6}<br />\]<br /><br />\[<br />a = \frac{16 \pm \sqrt{256 + 240}}{12}<br />\]<br /><br />\[<br />a = \frac{16 \pm \sqrt{496}}{12}<br />\]<br /><br />\[<br />a = \frac{16 \pm 4\sqrt{31}}{12}<br />\]<br /><br />\[<br />a = \frac{4 \pm \sqrt{31}}{3}<br />\]<br /><br />Portanto, as soluções são:<br /><br />\[<br />a = \frac{4 + \sqrt{31}}{3} \quad \text{ou} \quad a = \frac{4 - \sqrt{31}}{3}<br />\]<br /><br />Como \(\sqrt{31}\) é aproximadamente 5.57, podemos calcular:<br /><br />\[<br />a = \frac{4 + 5.57}{3} \approx \frac{9.57}{3} \approx 3.19<br />\]<br /><br />\[<br />a = \frac{4 - 5.57}{3} \approx \frac{-1.57}{3} \approx -0.52<br />\]<br /><br />Portanto, as soluções aproximadas são \(a \approx 3.19\) ou \(a \approx -0.52\).