9) Demonstrar por "indução matemática": 2vert (3^n-1) forall nin N

Para demonstrar a afirmação por indução matemática, vamos seguir os passos da prova por indução.<br /><br />Passo 1: Base da indução<br />Vamos verificar se a afirmação é verdadeira para n = 1.<br />$2\vert (3^{1}-1) \Rightarrow 2\vert (3-1) \Rightarrow 2\vert 2$, que é verdadeiro.<br /><br />Passo 2: Passo da indução<br />Suponha que a afirmação é verdadeira para n = k, ou seja, $2\vert (3^{k}-1)$.<br /><br />Queremos mostrar que a afirmação também é verdadeira para n = k+1, ou seja, $2\vert (3^{k+1}-1)$.<br /><br />Podemos reescrever $3^{k+1}$ como $3^{k} \cdot 3$.<br /><br />Substituindo na afirmação, temos:<br />$2\vert (3^{k+1}-1) \Rightarrow 2\vert (3^{k} \cdot 3 - 1)$.<br /><br />Agora, podemos fatorar $3^{k} \cdot 3 - 1$ como $(3^{k} - 1) \cdot 3 + 2$.<br /><br />Portanto, temos:<br />$2\vert (3^{k+1}-1) \Rightarrow 2\vert (3^{k} - 1) \cdot 3 + 2$.<br /><br />Como $2\vert (3^{k} - 1)$, podemos escrever $(3^{k} - 1)$ como $2m$, onde m é um inteiro.<br /><br />Substituindo na equação, temos:<br />$2\vert (3^{k+1}-1) \Rightarrow 2\vert 3 \cdot 2m + 2 \Rightarrow 2\vert 6m + 2 \Rightarrow 2\vert 2$.<br /><br />Portanto, a afirmação é verdadeira para n = k+1.<br /><br />Passo 3: Conclusão<br />Como a afirmação é verdadeira para n = 1 (base da indução) e se a afirmação é verdadeira para n = k+1 (passo da indução), podemos concluir que a afirmação é verdadeira para todos os n ∈ N.<br /><br />Portanto, a afirmação $2\vert (3^{n}-1)\quad \forall n\in N$ é verdadeira.