Verifique se S= (x,y,z)iR^3vert y=x^3+z^2 é um subespaço vetorial real de R^3 S não é subespaço de R^2 S não é subespaço de R^3 Sé subespaço de R^2 Sé subespaço de R^3 Sé subespaço de R^2 é subespaço de R^3

Para verificar se $S=\{ (x,y,z)iR^{3}\vert y=x^{3}+z^{2}\}$ é um subespaço vetorial real de $R^{3}$, precisamos verificar se ele satisfaz as propriedades de um subespaço: fechamento sob adição, fechamento sob multiplicação por escalar e presença do elemento neutro.<br /><br />1. Fechamento sob adição: Se $u=(x_1,y_1,z_1)$ e $v=(x_2,y_2,z_2)$ pertencem a $S$, então $u+v=(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)$. Precisamos verificar se $y_1+y_2=x_1^3+x_2^3+z_1^2+z_2^2$. Como $y_1=x_1^3+z_1^2$ e $y_2=x_2^3+z_2^2$, temos $y_1+y_2=x_1^3+x_2^3+z_1^2+z_2^2$. Portanto, $u+v$ pertence a $S$.<br /><br />2. Fechamento sob multiplicação por escalar: Se $u=(x,y,z)$ pertence a $S$ e $\lambda$ é um escalar, então $\lambda u=(\lambda x,\lambda y,\lambda z)$. Precisamos verificar se $\lambda y=\lambda x^3+(\lambda z)^2$. Como $y=x^3+z^2$, temos $\lambda y=\lambda x^3+\lambda^2 z^2$. Portanto, $\lambda u$ pertence a $S$.<br /><br />3. Presença do elemento neutro: O elemento neutro em $R^3$ é $(0,0,0)$. Precisamos verificar se $0=0^3+z^2$. Como $0=0^3+0^2$, temos que o elemento neutro pertence a $S$.<br /><br />Portanto, $S$ é um subespaço vetorial real de $R^3$. A resposta correta é: "Sé subespaço de $R^{3}$".