9. Uma equação diferencial é considerada de variáveis separáveis quando podemos separar suas e deixa-las na forma (dy)/(dx)=g(x)cdot h(x) onde g(x) é uma função que depende apenas da variável xeh(y) apenas de y. Pare encontrar uma solução geral para essas equações devemos as variáveis com termos dependente apenas de x de um lado da igualdade e do outro os termos dependentes apenas de y juntamente com o diferenciais. Seguindo essas orientações, encontre uma solução geral (dy)/(dx)=x^2

Para resolver a equação diferencial \(\frac{dy}{dx} = x^2\) usando o método de separação de variáveis, devemos reescrever a equação de forma que todas as expressões envolvendo \(y\) estejam em um lado e todas as expressões envolvendo \(x\) estejam no outro lado. No entanto, neste caso específico, a equação já está praticamente separada, pois não há termos dependentes de \(y\).<br /><br />Podemos reescrever a equação como:<br /><br />\[ dy = x^2 \, dx \]<br /><br />Agora, integramos ambos os lados da equação:<br /><br />\[ \int dy = \int x^2 \, dx \]<br /><br />A integral do lado esquerdo é simplesmente \(y\), enquanto a integral do lado direito é uma função polinomial:<br /><br />\[ y = \frac{x^3}{3} + C \]<br /><br />onde \(C\) é a constante de integração.<br /><br />Portanto, a solução geral da equação diferencial \(\frac{dy}{dx} = x^2\) é:<br /><br />\[ y = \frac{x^3}{3} + C \]