8. Determine a fração geratriz das dizimas periódicas sim- ples a seguir, utilizando os principios da igualdade ou a regra prática. Simplifique a fração obtida, se possivel. a) 0,5555ldots = b) 0,131313ldots = c) 2,33333ldots = d) 1,overline (12)= e) -0,425425425425ldots = f) -5,overline (4)=

a) $$0,5555\ldots = \frac{5}{9}$$
b) $$0,131313\ldots = \frac{13}{99}$$
c) $$2,33333\ldots = \frac{7}{3}$$
d) $$1,\overline {12} = \frac{11}{9}$$
e) $$-0,425425425425\ldots = -\frac{42}{99}$$
f) $$-5,\overline {4} = -\frac{52}{9}$$

Explicação:
a) Para encontrar a fração geratriz de $$0,5555\ldots$$ , podemos representar a dízima periódica como $$x = 0,5555\ldots$$ . Multiplicando ambos os lados por 10, obtemos $$10x = 5,5555\ldots$$ . Subtraindo a primeira equação da segunda, temos $$9x = 5$$ , o que nos dá $$x = \frac{5}{9}$$ .

b) Para encontrar a fração geratriz de $$0,131313\ldots$$ , podemos representar a dízima periódica como $$x = 0,131313\ldots$$ . Multiplicando ambos os lados por 100, obtemos $$100x = 13,131313\ldots$$ . Subtraindo a primeira equação da segunda, temos $$99x = 13$$ , o que nos dá $$x = \frac{13}{99}$$ .

c) Para encontrar a fração geratriz de $$2,33333\ldots$$ , podemos representar a dízima periódica como $$x = 2,33333\ldots$$ . Multiplicando ambos os lados por 10, obtemos $$10x = 23,3333\ldots$$ . Subtraindo a primeira equação da segunda, temos $$9x = 21$$ , o que nos dá $$x = \frac{21}{9}$$ . Simplificando a fração, temos $$x = \frac{7}{3}$$ .

d) Para encontrar a fração geratriz de $$1,\overline {12}$$ , podemos representar a dízima periódica como $$x = 1,121212\ldots$$ . Multiplicando ambos os lados por 100, obtemos $$100x = 112,121212\ldots$$ . Subtraindo a primeira equação da segunda, temos $$99x = 111$$ , o que nos dá $$x = \frac{111}{99}$$ . Simplificando a fração, temos $$x = \frac{11}{9}$$ .

e) Para encontrar a fração geratriz de $$-0,425425425425\ldots$$ , podemos representar a dízima periódica como $$x = -0,425425425425\ldots$$ . Multiplicando ambos os lados por 1000, obtemos $$1000x = -425,425425425\ldots$$ . Subtraindo a primeira equação da segunda, temos $$999x = -425$$ , o que nos dá $$x = -\frac{425}{999}$$ . Simplificando a fração, temos $$x = -\frac{42}{99}$$ .

f) Para encontrar a fração geratriz de $$-5,\overline {4}$$ , podemos representar a dízima periódica como $$x = -5,44444\ldots$$ . Multiplicando ambos os lados por 10, obtemos $$10x = -54,4444\ldots$$ . Subtraindo a primeira equação da segunda, temos $$9x = -49$$ , o que nos dá $$x = -\frac{49}{9}$$ . Simplificando a fração, temos $$x = -\frac{52}{9}$$ .