Questão 3 Ocilculo de integrais em regides do tipo circular pode ser faito por meio das coordenadas polares. Assim far se necessiono fater cometamente a mudanca de coondenadas cartesanas para coentenadas polares Deseja-se calcular a integral da funclo f(x,y)=(x^2+y^2) sobre a regile D limitada por 0leqslant 1520leqslant 0leqslant 2pi Assinale a alternativa que contem o resultado da integral apresentada. A. square B. 4rt. C. Git. D 211. E 10pi

Para calcular a integral da função \( f(x, y) = (x^2 + y^2) \) sobre a região \( D \) limitada por \( 0 \leqslant r \leqslant 2 \) e \( 0 \leqslant \theta \leqslant 2\pi \), precisamos usar as coordenadas polares. As coordenadas polares são dadas por \( x = r \cos(\theta) \) e \( y = r \sin(\theta) \).<br /><br />A integral em coordenadas polares é dada por:<br /><br />\[ \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{2} (r^2) \, r \, dr \, d\theta \]<br /><br />Primeiro, calculamos a integral em \( r \):<br /><br />\[ \int_{0}^{2} r^3 \, dr = \left[ \frac{r^4}{4} \right]_{0}^{2} = \frac{2^4}{4} - \frac{0^4}{4} = \frac{16}{4} = 4 \]<br /><br />Agora, calculamos a integral em \( \theta \):<br /><br />\[ \int_{0}^{2\pi} 4 \, d\theta = 4 \times 2\pi = 8\pi \]<br /><br />Portanto, o resultado da integral é \( 8\pi \).<br /><br />A alternativa correta é:<br /><br />E. \( 8\pi \)