gllsando o vetor gradlente da fungso,no ponto P(1,1,2) .Determine a taxa maxime ide variação z=2x^2y^5z

Para determinar a taxa máxima de variação da função \( z = 2x^2y^5z \) no ponto \( P(1,1,2) \), precisamos calcular o gradiente da função e avaliar sua magnitude no ponto dado.<br /><br />O gradiente de uma função \( f(x, y, z) \) é dado por:<br /><br />\[ \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right) \]<br /><br />Para calcular as derivadas parciais, vamos considerar \( z \) como uma constante:<br /><br />\[ \frac{\partial f}{\partial x} = 4xyz \]<br />\[ \frac{\partial f}{\partial y} = 10x^2y^4z \]<br />\[ \frac{\partial f}{\partial z} = 2x^2y^5 \]<br /><br />Agora, substituindo as coordenadas do ponto \( P(1,1,2) \) nas derivadas parciais, temos:<br /><br />\[ \frac{\partial f}{\partial x} = 4(1)(1)(2) = 8 \]<br />\[ \frac{\partial f}{\partial y} = 10(1)^2(1)^4(2) = 20 \]<br />\[ \frac{\partial f}{\partial z} = 2(1)^2(1)^5 = 2 \]<br /><br />Portanto, o gradiente da função no ponto \( P(1,1,2) \) é:<br /><br />\[ \nabla f = (8, 20, 2) \]<br /><br />Para determinar a taxa máxima de variação, precisamos calcular a magnitude do gradiente:<br /><br />\[ |\nabla f| = \sqrt{8^2 + 20^2 + 2^2} = \sqrt{64 + 400 + 4} = \sqrt{468} = 2\sqrt{117} \]<br /><br />Portanto, a taxa máxima de variação da função \( z = 2x^2y^5z \) no ponto \( P(1,1,2) \) é \( 2\sqrt{117} \).