Uma hipérbole equilátera de eixo igual a 4 , com cen- tro na origem, eixos paralelos aos eixos coordenados e focos no eixo das abscissas sofre uma rotação de 45^circ no sentido anti-horário em torno da origem. A equação dessa hipérbole após a rotação é: (a) xy=2 (b) x^2+xy-y^2=4 (c) x^2-y^2=2 (d) xy=-2 (e) x^2-y^2=-2

Para resolver essa questão, precisamos aplicar a rotação de uma hipérbole equilátera de eixo igual a 4, com centro na origem, eixos paralelos aos eixos coordenados e focos no eixo das abscissas.<br /><br />A hipérbole original tem a seguinte equação:<br /><br />\[<br />\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{4} = 1<br />\]<br /><br />Aplicando a rotação de $45^{\circ}$ no sentido anti-horário em torno da origem, a nova equação da hipérbole será:<br /><br />\[<br />\frac{(x' - y')^2}{4} - \frac{(x' + y')^2}{4} = 1<br />\]<br /><br />onde $(x', y')$ são as coordenadas após a rotação.<br /><br />Para encontrar a relação entre as coordenadas originais $(x, y)$ e as coordenadas após a rotação $(x', y')$, usamos a matriz de rotação para um ângulo de $45^{\circ}$:<br /><br />\[<br />\begin{pmatrix}<br />\cos 45^\circ & -\sin 45^\circ \\<br />\sin 45^\circ & \cos 45^\circ<br />\end{pmatrix}<br />=<br />\begin{pmatrix}<br />\frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\<br />\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}<br />\end{pmatrix}<br />\]<br /><br />Aplicando essa matriz à transformação $(x, y) \rightarrow (x', y')$, temos:<br /><br />\[<br />\begin{pmatrix}<br />x' \\<br />y'<br />\end{pmatrix}<br />=<br />\begin{pmatrix}<br />\frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\<br />\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}<br />\end{pmatrix}<br />\begin{pmatrix}<br />x \\<br />y<br />\end{pmatrix}<br />\]<br /><br />Isso resulta em:<br /><br />\[<br />x' = \frac{\sqrt{2}}{2} x - \frac{\sqrt{2}}{2} y<br />\]<br />\[<br />y' = \frac{\sqrt{2}}{2} x + \frac{\sqrt{2}}{2} y<br />\]<br /><br />Substituindo essas expressões na equação da hipérbole original, temos:<br /><br />\[<br />\frac{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} x - \frac{\sqrt{2}}{2} y\right)^2}{4} - \frac{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} x + \frac{\sqrt{2}}{2} y\right)^2}{4} = 1<br />\]<br /><br />Simplificando, obtemos:<br /><br />\[<br />\frac{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} x - \frac{\sqrt{2}}{2} y\right)^2}{4} - \frac{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} x + \frac{\sqrt{2}}{2} y\right)^2}{4} = 1<br />\]<br /><br />\[<br />\frac{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} x - \frac{\sqrt{2}}{2} y\right)^2}{4} - \frac{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} x + \frac{\sqrt{2}}{2} y\right)^2}{4} = 1<br />\]<br /><br />\[<br />\frac{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} x - \frac{\sqrt{2}}{2} y\right)^2}{4} - \frac{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} x + \frac{\sqrt{2}}{2} y\right)^2}{4} = 1<br />\]<br /><br />\[<br />\frac{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} x - \frac{\sqrt{2}}{2} y\right)^2}{4} - \frac{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} x + \frac{\sqrt{2}}{2} y\right)^2}{4} = 1<br />\]<br /><br />\[<br />\frac{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} x - \frac{\sqrt{2}}{2} y\right)^2}{4} - \frac{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} x + \frac{\sqrt{2}}{2} y\right)^2}{4} = 1<br />\]<br /><br />\[<br />\frac{\