2 (UEFS-BA) Considerando-se que o polinômio P(x)=x^3+ax^2+bx+c tem I como raiz dupla e 3 como raiz simples é corre- to afirmar que o resto da divisão de P(x) por (x+1) a) -20 b) -18 c) -16 d) -14 e) -2

Para resolver essa questão, podemos utilizar o Teorema do Resto. O Teorema do Resto afirma que, se um polinômio \( P(x) \) é dividido por um binômio da forma \( (x - k) \), o resto dessa divisão é igual a \( P(k) \).<br /><br />No caso em questão, temos o polinômio \( P(x) = x^3 + ax^2 + bx + c \) e o binômio \( (x + 1) \). Podemos observar que o binômio \( (x + 1) \) pode ser reescrito como \( (x - (-1)) \). Portanto, podemos aplicar o Teorema do Resto e substituir \( x \) por \( -1 \) na expressão do polinômio.<br /><br />Substituindo \( x \) por \( -1 \) na expressão do polinômio, temos:<br /><br />\( P(-1) = (-1)^3 + a(-1)^2 + b(-1) + c \)<br /><br />Simplificando essa expressão, temos:<br /><br />\( P(-1) = -1 + a - b + c \)<br /><br />Sabemos que \( -1 \) é uma raiz dupla do polinômio, o que significa que \( P(-1) = 0 \). Portanto, podemos igualar essa expressão a zero e resolver a equação:<br /><br />\( -1 + a - b + c = 0 \)<br /><br />Sabemos também que \( 3 \) é uma raiz simples do polinômio. Isso significa que \( P(3) = 0 \). Substituindo \( x \) por \( 3 \) na expressão do polinômio, temos:<br /><br />\( P(3) = 3^3 + a(3)^2 + b(3) + c \)<br /><br />Simplificando essa expressão, temos:<br /><br />\( P(3) = 27 + 9a + 3b + c \)<br /><br />Igualando essa expressão a zero, temos:<br /><br />\( 27 + 9a + 3b + c = 0 \)<br /><br />Agora, temos um sistema de duas equações com três incógnitas. Podemos resolver esse sistema para encontrar os valores de \( a \), \( b \) e \( c \). No entanto, como o sistema possui mais incógnitas do que equações, não podemos determinar os valores exatos de \( a \), \( b \) e \( c \) apenas com as informações fornecidas.<br /><br />Portanto, não é possível determinar o resto da divisão de \( P(x) \) por \( (x + 1) \) apenas com as informações fornecidas. Portanto, nenhuma das opções fornecidas está correta.