4. Calcule int _(gamma )xdx+dy+2dz onde yé a interseção do paraboloide z=x^2+y^2 com o plano z=2x+2y-1 : 0 sentido de percurso deve ser escolhido de modo que a projeção de gamma (t) , no plano xy, caminhe no sentido anti-horário.

Para calcular a integral de linha \(\int_{\gamma} (x \, dx + dy + 2 \, dz)\), onde \(\gamma\) é a interseção do paraboloide \(z = x^2 + y^2\) com o plano \(z = 2x + 2y - 1\), precisamos seguir alguns passos:<br /><br />1. **Encontrar a curva de interseção \(\gamma\)**:<br /> A interseção ocorre quando \(z = x^2 + y^2 = 2x + 2y - 1\). Simplificando, obtemos:<br /> \[<br /> x^2 + y^2 - 2x - 2y + 1 = 0<br /> \]<br /> Esta é a equação de um círculo com centro em \((1, 1)\) e raio \(\sqrt{2}\).<br /><br />2. **Parametrizar a curva \(\gamma\)**:<br /> Podemos parametrizar o círculo usando coordenadas polares:<br /> \[<br /> x = 1 + \sqrt{2} \cos(\theta)<br /> \]<br /> \[<br /> y = 1 + \sqrt{2} \sin(\theta)<br /> \]<br /> \[<br /> z = 2(1 + \sqrt{2} \cos(\theta)) + 2(1 + \sqrt{2} \sin(\theta)) - 1 = 3 + 2\sqrt{2} (\cos(\theta) + \sin(\theta))<br /> \]<br /><br />3. **Calcular os diferentesímetros \(dx\), \(dy\), e \(dz\)**:<br /> \[<br /> dx = \frac{d}{d\theta} (1 + \sqrt{2} \cos(\theta)) \, d\theta = -\sqrt{2} \sin(\theta) \, d\theta<br /> \]<br /> \[<br /> dy = \frac{d}{d\theta} (1 + \sqrt{2} \sin(\theta)) \, d\theta = \sqrt{2} \cos(\theta) \, d\theta<br /> \]<br /> \[<br /> dz = \frac{d}{d\theta} (3 + 2\sqrt{2} (\cos(\theta) + \sin(\theta))) \, d\theta = 2\sqrt{2} (\cos(\theta) - \sin(\theta)) \, d\theta<br /> \]<br /><br />4. **Substituir na integral de linha**:<br /> \[<br /> \int_{\gamma} (x \, dx + dy + 2 \, dz) = \int_{0}^{2\pi} \left[ (1 + \sqrt{2} \cos(\theta)) (-\sqrt{2} \sin(\theta)) + \sqrt{2} \cos(\theta) + 2 \cdot 2\sqrt{2} (\cos(\theta) - \sin(\theta)) \right] d\theta<br /> \]<br /><br />5. **Simplificar a expressão**:<br /> \[<br /> = \int_{0}^{2\pi} \left[ -\sqrt{2} \cos(\theta) \sin(\theta) - 2 \sin(\theta) + 2\sqrt{2} \cos(\theta) - 4\sqrt{2} \sin(\theta) \right] d\theta<br /> \]<br /> \[<br /> = \int_{0}^{2\pi} \left[ -\sqrt{2} \cos(\theta) \sin(\theta) - 6\sqrt{2} \sin(\theta) + 2\sqrt{2} \cos(\theta) \right] d\theta<br /> \]<br /> \[<br /> = \int_{0}^{2\pi} \left[ -\sqrt{2} \cos(\theta) (\sin(\theta) + 1) - 6\sqrt{2} \sin(\theta) \right] d\theta<br /> \]<br /><br />6. **Integrar**:<br /> \[<br /> = -\sqrt{2} \int_{0}^{2\pi} \cos(\theta) (\sin(\theta) + 1) \, d\theta - 6\sqrt{2} \int_{0}^{2\pi} \sin(\theta) \, d\theta<br /> \]<br /><br /> Note que \(\int_{0}^{2\pi} \sin(\theta) \, d\theta = 0\) porque \(\sin(\theta)\) é uma função periódica com período \(2\pi\).<br /><br /> Para a primeira integral, podemos usar uma substituição \(u = \sin(\theta)