Quentáo 7) Calcule a untrralal de linha int_(c) F . dr ande c i dado pela Lumpoo vetanal (r(t)) 21) F(x, y, z)=operatorname(sen) vec(x) i+cos gamma vec(theta)+x z k, r(t): t^3 vec(imath)-t^2 vec(theta)+t vec(kz) 0 leq t leq 1

Para calcular a integral de linha \( \int_{c} F \cdot dr \), onde \( c \) é dado pela função vetorial \( r(t) \), precisamos primeiro encontrar a derivada de \( r(t) \) em relação a \( t \).<br /><br />Dada a função vetorial \( r(t) = t^{3} \vec{\imath} - t^{2} \vec{\jmath} + t \vec{\kappa} \), podemos calcular a derivada de \( r(t) \) em relação a \( t \) como:<br /><br />\( \frac{dr}{dt} = 3t^{2} \vec{\imath} - 2t \vec{\jmath} + \vec{\kappa} \)<br /><br />Agora, podemos calcular a integral de linha \( \int_{c} F \cdot dr \) substituindo \( F(x, y, z) \) e \( \frac{dr}{dt} \) na integral:<br /><br />\( \int_{c} F \cdot dr = \int_{0}^{1} F(r(t)) \cdot \frac{dr}{dt} dt \)<br /><br />Substituindo \( F(x, y, z) = \sin(x) \vec{\imath} + \cos(y) \vec{\jmath} + xz \vec{\kappa} \) e \( \frac{dr}{dt} = 3t^{2} \vec{\imath} - 2t \vec{\jmath} + \vec{\kappa} \) na integral, temos:<br /><br />\( \int_{c} F \cdot dr = \int_{0}^{1} (\sin(t^{3}) \vec{\imath} + \cos(-t^{2}) \vec{\jmath} + t^{3}z \vec{\kappa}) \cdot (3t^{2} \vec{\imath} - 2t \vec{\jmath} + \vec{\kappa}) dt \)<br /><br />Simplificando a integral, temos:<br /><br />\( \int_{c} F \cdot dr = \int_{0}^{1} (3t^{2}\sin(t^{3}) - 2t\cos(-t^{2}) + t^{3}z) dt \)<br /><br />Agora, podemos calcular a integral usando técnicas de integração adequadas.