Leia as Instruçóes: Questão 1 (0,5 pontos) Resolva as itens sobre subgrupos normais: a) Seja G um grupo. Prove que o centro de G. Z(G) é um subgrupo normal de G. b) Seja G=Z (os inteiros sob a adição) e H=2Z (os múltiplos de 2). Prove que H é um subgrupo normal de G.

a) Para provar que o centro de G, denotado por Z(G), é um subgrupo normal de G, devemos mostrar que ele satisfaz as três propriedades de um subgrupo normal:<br /><br />1. O elemento identidade de G está em Z(G): O elemento identidade de um grupo é aquele que, quando combinado com qualquer elemento do grupo, resulta nesse elemento. No caso do centro de G, o elemento identidade é o elemento que, quando combinado com qualquer elemento de G, resulta nesse elemento. Portanto, o elemento identidade de G está em Z(G).<br /><br />2. Se x está em Z(G) e y está em G, então xyx⁻¹ está em Z(G): Para mostrar isso, vamos considerar um elemento x em Z(G) e um elemento y em G. Queremos mostrar que xyx⁻¹ também está em Z(G). Para isso, vamos calcular (xyx⁻¹)y:<br /><br />(xyx⁻¹)y = x(yy⁻¹)x⁻¹ = x(e)x⁻¹ = xx⁻¹ = e<br /><br />Portanto, xyx⁻¹ está em Z(G), pois ele é igual ao elemento identidade e.<br /><br />3. Se x está em Z(G) e y está em G, então yxy⁻¹ está em Z(G): Para mostrar isso, vamos considerar um elemento x em Z(G) e um elemento y em G. Queremos mostrar que yxy⁻¹ também está em Z(G). Para isso, vamos calcular (yxy⁻¹)x:<br /><br />(yxy⁻¹)x = y(xxy⁻¹)y⁻¹ = y(e)y⁻¹ = yy⁻¹ = e<br /><br />Portanto, yxy⁻¹ está em Z(G), pois ele é igual ao elemento identidade e.<br /><br />Como o centro de G satisfaz todas as três propriedades de um subgrupo normal, podemos concluir que Z(G) é um subgrupo normal de G.<br /><br />b) Para provar que H é um subgrupo normal de G, devemos mostrar que ele satisfaz as três propriedades de um subgrupo normal:<br /><br />1. O elemento identidade de G está em H: O elemento identidade de G é 0, que também é um múltiplo de 2. Portanto, o elemento identidade de G está em H.<br /><br />2. Se x está em H e y está em G, então xyx⁻¹ está em H: Para mostrar isso, vamos considerar um elemento x em H e um elemento y em G. Queremos mostrar que xyx⁻¹ também está em H. Para isso, vamos calcular (xyx⁻¹)y:<br /><br />(xyx⁻¹)y = x(yy⁻¹)x⁻¹ = x(e)x⁻¹ = xx⁻¹ = e<br /><br />Portanto, xyx⁻¹ está em H, pois ele é igual ao elemento identidade e.<br /><br />3. Se x está em H e y está em G, então yxy⁻¹ está em H: Para mostrar isso, vamos considerar um elemento x em H e um elemento y em G. Queremos mostrar que yxy⁻¹ também está em H. Para isso, vamos calcular (yxy⁻¹)x:<br /><br />(yxy⁻¹)x = y(xxy⁻¹)y⁻¹ = y(e)y⁻¹ = yy⁻¹ = e<br /><br />Portanto, yxy⁻¹ está em H, pois ele é igual ao elemento identidade e.<br /><br />Como H satisfaz todas as três propriedades de um subgrupo normal, podemos concluir que H é um subgrupo normal de G.