43 Famema -SP 2022 A reta de equação x+2y+1=0 determina na circunferência (x-4)^2+y^2=21uma corda de comprimen to igual a a) 8. d) 6sqrt (2) b) 7. c) 6sqrt (3) e) 4sqrt (5)

Para determinar a corda de comprimento, precisamos calcular a distância entre o ponto de contato da reta com a circunferência e o ponto de tangência. O ponto de contato é dado pela interseção da reta com a circunferência. Para encontrar esse ponto, podemos substituir a equação da reta na equação da circunferência e resolver a equação resultante.<br /><br />Substituindo $x = -2y - 1$ na equação da circunferência, temos:<br /><br />$(x-4)^{2}+y^{2}=21$<br /><br />$(-2y-1-4)^{2}+y^{2}=21$<br /><br />$(-2y-5)^{2}+y^{2}=21$<br /><br />$4y^{2}+20y+25+y^{2}=21$<br /><br />$5y^{2}+20y+4=0$<br /><br />Resolvendo essa equação quadrática, encontramos:<br /><br />$y = -2$<br /><br />Substituindo $y = -2$ na equação da reta, temos:<br /><br />$x = -2(-2) - 1 = 3$<br /><br />Portanto, o ponto de contato é (3, -2).<br /><br />Para encontrar o ponto de tangência, precisamos calcular a projeção ortogonal do ponto de contato sobre a reta de tangência. A reta de tangência é perpendicular à reta de equação $x+2y+1=0$ e passa pelo centro da circunferência, que é (4, 0).<br /><br />Usando a fórmula da projeção ortogonal, temos:<br /><br />$\text{proj}_{\vec{t}}(\vec{cp}) = \vec{cp} - (\vec{cp} \cdot \vec{t}) \cdot \vec{t}$<br /><br />onde $\vec{cp}$ é o vetor ponto de contato e $\vec{t}$ é o vetor direção da reta de tangência.<br /><br />$\vec{cp} = (3, -2)$<br /><br />$\vec{t} = (1, -2)$<br /><br />$\vec{cp} \cdot \vec{t} = 3 \cdot 1 + (-2) \cdot (-2) = 3 + 4 = 7$<br /><br />$\text{proj}_{\vec{t}}(\vec{cp}) = (3, -2) - 7 \cdot (1, -2) = (3, -2) - (7, -14) = (-4, 12)$<br /><br />Portanto, o ponto de tangência é (-4, 12).<br /><br />A corda de comprimento é a distância entre o ponto de contato e o ponto de tangência. Usando a fórmula da distância entre dois pontos, temos:<br /><br />$c = \sqrt{(-4 - 3)^{2} + (12 - (-2))^{2}} = \sqrt{49 + 196} = \sqrt{245} = 7\sqrt{5}$<br /><br />Portanto, a resposta correta é a opção e) $4\sqrt{5}$.