3) Simplifique as expressóes: ((2k+2)!)/(2!cdot (2k+1)!) b) ((m+1)!)/((m-1)!)

Vamos simplificar as expressões fornecidas:<br /><br />a) $\frac{(2k+2)!}{2!\cdot(2k+1)!}$<br /><br />Para simplificar essa expressão, podemos cancelar os fatoriais comuns no numerador e no denominador. Observamos que $(2k+2)!$ pode ser escrito como $(2k+2)\cdot(2k+1)!$. Então, temos:<br /><br />$\frac{(2k+2)\cdot(2k+1)!}{2!\cdot(2k+1)!}$<br /><br />Podemos cancelar o fator $(2k+1)!$ no numerador e no denominador:<br /><br />$\frac{2k+2}{2!}$<br /><br />Agora, podemos simplificar o fator $2!$ no denominador:<br /><br />$\frac{2k+2}{2}$<br /><br />Portanto, a expressão simplificada é $\frac{2k+2}{2}$.<br /><br />b) $\frac{(m+1)!}{(m-1)!}$<br /><br />Para simplificar essa expressão, podemos cancelar os fatoriais comuns no numerador e no denominador. Observamos que $(m+1)!$ pode ser escrito como $(m+1)\cdot m!$ e $(m-1)!$ pode ser escrito como $(m-1)\cdot(m-2)\cdot(m-3)\cdot\ldots\cdot1$. Então, temos:<br /><br />$\frac{(m+1)\cdot m!}{(m-1)\cdot(m-2)\cdot(m-3)\cdot\ldots\cdot1}$<br /><br />Podemos cancelar o fator $m!$ no numerador e no denominador:<br /><br />$\frac{m+1}{(m-1)\cdot(m-2)\cdot(m-3)\cdot\ldots\cdot1}$<br /><br />Portanto, a expressão simplificada é $\frac{m+1}{(m-1)\cdot(m-2)\cdot(m-3)\cdot\ldots\cdot1}$.