Assinale a opção que apresenta a área do paralelogramo definido por overrightarrow (u)=(-3,2,4) e overrightarrow (v)=(-1,1,1) Area do pardlelogramo=6 b. Area do paralelogramo=sqrt (5) c. Area do porolelogramo=9 d. Area do paralelogramo=sqrt (6) Area do parolelogramo=3

Para encontrar a área do paralelogramo definido por dois vetores, podemos usar o produto vetorial. O produto vetorial de dois vetores \(\overrightarrow{u}\) e \(\overrightarrow{v}\) é dado por:<br /><br />\[<br />\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} = (u_2v_ u_3v_2, u_3v_1 - u_1v_3, u_1v_2 - u_2v_1)<br />\]<br /><br />onde \(\overrightarrow{u} = (u_1, u_2, u_3)\) e \(\overrightarrow{v} = (v_1, v_2,3)\).<br /><br />Para os vetores \(\overrightarrow{u} = (-3, 2, 4)\) e \(\overrightarrow{v} = (-1, 1, 1)\), calculamos o produto vetorial:<br /><br />\[<br />\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} = (2 \cdot 1 - cdot 1, 4 \cdot (-1) - (-3) \cdot 1, (-3) \cdot 1 - 2 \cdot (-1))<br />\]<br /><br />\[<br />= (2 - 4, 4 - 3, -3 + 2)<br />\]<br /><br />\[<br />= (-2, 1, -1)<br />\]<br /><br />A área do paralelogramo é a norma desse vetor resultante:<br /><br />\[<br />\|\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}\| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} ={6}<br />\]<br /><br />Portanto, a resposta correta é:<br /><br />d. \(Area\quad do\quad paralelogramo=\sqrt {6}\)