8.0 dobro de um número somado ao quadrado de outro resulta 31. A diferença entre o d dobro do primeiro e o segundo é igual a 1 Determine esses números.

Vamos resolver o sistema de equações passo a passo:<br /><br />1. **Primeira equação:**<br /> \[<br /> 2x + y^2 = 31<br /> \]<br /><br />2. **Segunda equação:**<br /> \[<br /> 2x - y = 1<br /> \]<br /><br />Primeiro, vamos isolar \(2x\) na segunda equação:<br />\[<br />2x = y + 1<br />\]<br /><br />Agora, substituímos esse valor de \(2x\) na primeira equação:<br />\[<br />y + 1 + y^2 = 31<br />\]<br /><br />Simplificamos a equação:<br />\[<br />y^2 + y + 1 = 31<br />\]<br />\[<br />y^2 + y - 30 = 0<br />\]<br /><br />Resolvemos essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:<br />\[<br />y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}<br />\]<br />onde \(a = 1\), \(b = 1\), e \(c = -30\).<br /><br />Calculamos o discriminante:<br />\[<br />\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 1 + 120 = 121<br />\]<br /><br />Como o discriminante é positivo, temos duas raízes reais distintas:<br />\[<br />y = \frac{-1 \pm \sqrt{121}}{2} = \frac{-1 \pm 11}{2}<br />\]<br /><br />Isso nos dá duas soluções para \(y\):<br />\[<br />y = \frac{-1 + 11}{2} = 5 \quad \text{ou} \quad y = \frac{-1 - 11}{2} = -6<br />\]<br /><br />Agora, substituímos esses valores de \(y\) na segunda equação para encontrar \(x\):<br /><br />Para \(y = 5\):<br />\[<br />2x = 5 + 1 \implies 2x = 6 \implies x = 3<br />\]<br /><br />Para \(y = -6\):<br />\[<br />2x = -6 + 1 \implies 2x = -5 \implies x = -\frac{5}{2}<br />\]<br /><br />Portanto, temos duas soluções possíveis:<br />1. \(x = 3\) e \(y = 5\)<br />2. \(x = -\frac{5}{2}\) e \(y = -6\)<br /><br />Ambas as soluções devem ser verificadas para garantir que atendem ambas as equações originais. Vamos verificar:<br /><br />Para \(x = 3\) e \(y = 5\):<br />\[<br />2(3) + 5^2 = 6 + 25 = 31 \quad \text{(satisfação)}<br />\]<br />\[<br />2(3) - 5 = 6 - 5 = 1 \quad \text{(satisfação)}<br />\]<br /><br />Para \(x = -\frac{5}{2}\) e \(y = -6\):<br />\[<br />2\left(-\frac{5}{2}\right) + (-6)^2 = -5 + 36 = 31 \quad \text{(satisfação)}<br />\]<br />\[<br />2\left(-\frac{5}{2}\right) - (-6) = -5 + 6 = 1 \quad \text{(satisfação)}<br />\]<br /><br />Ambas as soluções atendem às equações originais. Portanto, os números são:<br />\[<br />x = 3 \quad \text{e} \quad y = 5 \quad \text{ou} \quad x = -\frac{5}{2} \quad \text{e} \quad y = -6<br />\]