43) (M120570H6)A temperatura inicial de uma placa metálica é 300^circ C O decaimento dessa temperatura ocorre de acordo com a função dada por T(t)=300cdot ((1)/(2))^(t)/(8) , em que t é 0 tempo, em horas , após o início de seu resfriamento. Para um determinado experimento, é necessário que a temperatura dessa placa seja reduzida à quarta parte da temperatura inicial. Quantas horas serão necessárias para que a placa atinja a temperatura necessária para esse experimento? A) 4 B) 8 C) 16 D) 75 E) 15 o

Para resolver o problema, precisamos encontrar o valor de \( t \) para o qual a temperatura \( T(t) \) será reduzida à quarta parte da temperatura inicial, que é \( 300^{\circ}C \).<br /><br />A função dada é:<br />\[ T(t) = 300 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{8}} \]<br /><br />Queremos que \( T(t) \) seja igual a \( \frac{300}{4} = 75^{\circ}C \). Então, substituímos \( T(t) \) por 75 e resolvemos a equação:<br /><br />\[ 75 = 300 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{8}} \]<br /><br />Dividimos ambos os lados por 300:<br /><br />\[ \frac{75}{300} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{8}} \]<br /><br />Simplificamos a fração:<br /><br />\[ \frac{1}{4} = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{8}} \]<br /><br />Sabemos que \( \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \), então podemos escrever:<br /><br />\[ \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{8}} \]<br /><br />Como as bases são iguais, podemos igualar os expoentes:<br /><br />\[ 2 = \frac{t}{8} \]<br /><br />Multiplicamos ambos os lados por 8:<br /><br />\[ t = 16 \]<br /><br />Portanto, serão necessárias 16 horas para que a placa atinja a temperatura necessária para o experimento.<br /><br />A resposta correta é:<br /><br />C) 16