5) int _(C)5x^2ysqrt (z)dz C x=t^3, y=t, z=t^2 0leqslant tleqslant 1

Para resolver a integral de linha \(\int_C 5x^2y\sqrt{z} \, dz\), onde \(C\) é a curva parametrizada por \(x = t^3\), \(y = t\), e \(z = t^2\) para \(0 \leq t \leq 1\), precisamos substituir essas expressões na integral e integrar em relação a \(t\).<br /><br />Primeiro, substituímos \(x\), \(y\), e \(z\) em termos de \(t\):<br /><br />\[ x = t^3 \]<br />\[ y = t \]<br />\[ z = t^2 \]<br /><br />Agora, substituímos essas expressões na integral:<br /><br />\[ \int_C 5x^2y\sqrt{z} \, dz = \int_0^1 5(t^3)^2(t)\sqrt{t^2} \, dt \, dz \]<br /><br />Simplificando a expressão dentro da integral:<br /><br />\[ = \int_0^1 5t^6(t)\sqrt{t^2} \, dt \]<br />\[ = \int_0^1 5t^7\sqrt{t^2} \, dt \]<br />\[ = \int_0^1 5t^7t^{3/2} \, dt \]<br />\[ = \int_0^1 5t^{7 + 3/2} \, dt \]<br />\[ = \int_0^1 5t^{17/2} \, dt \]<br /><br />Agora, integramos em relação a \(t\):<br /><br />\[ \int_0^1 5t^{17/2} \, dt = 5 \int_0^1 t^{17/2} \, dt \]<br /><br />Usamos a fórmula da integral de uma potência de \(t\):<br /><br />\[ \int t^n \, dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C \]<br /><br />Aplicando isso à nossa integral:<br /><br />\[ 5 \int_0^1 t^{17/2} \, dt = 5 \left[ \frac{t^{(17/2) + 1}}{(17/2) + 1} \right]_0^1 \]<br />\[ = 5 \left[ \frac{t^{19/2}}{19/2} \right]_0^1 \]<br />\[ = 5 \left[ \frac{2}{19} t^{19/2} \right]_0^1 \]<br />\[ = 5 \left[ \frac{2}{19} \cdot 1^{19/2} \right] - 5 \left[ \frac{2}{19} \cdot 0^{19/2} \right] \]<br />\[ = 5 \left[ \frac{2}{19} \cdot 1 \right] - 5 \left[ \frac{2}{19} \cdot 0 \right] \]<br />\[ = \frac{10}{19} \]<br /><br />Portanto, o valor da integral de linha é:<br /><br />\[ \boxed{\frac{10}{19}} \]