Tentativas nessa atividade 3 de 3 Considere as funções f(x)=2x+c e g(x)=5-6x com cgt 0 Sejam Pe Q os pontos de interseção com o eixo y,dos gráficos de y=f(g(x)) e y=g(f(x)) respectivamente. Para que a origem seja o ponto médio do segmento PQ, qual deverá ser o valor de c? A 1. B 2. 3. D 4.

Para resolver o problema, precisamos encontrar os pontos de interseção das funções compostas \( y = f(g(x)) \) e \( y = g(f(x)) \) com o eixo \( y \), e depois determinar o valor de \( c \) para que a origem seja o ponto médio do segmento \( PQ \).<br /><br />1. **Encontrar \( P \):** <br /> A função composta \( y = f(g(x)) \) é dada por:<br /> \[<br /> f(g(x)) = f(5 - 6x) = 2(5 - 6x) + c = 10 - 12x + c<br /> \]<br /> Para encontrar o ponto de interseção com o eixo \( y \), fazemos \( x = 0 \):<br /> \[<br /> y = 10 + c<br /> \]<br /> Portanto, o ponto \( P \) é \( (0, 10 + c) \).<br /><br />2. **Encontrar \( Q \):** <br /> A função composta \( y = g(f(x)) \) é dada por:<br /> \[<br /> g(f(x)) = g(2x + c) = 5 - 6(2x + c) = 5 - 12x - 6c<br /> \]<br /> Para encontrar o ponto de interseção com o eixo \( y \), fazemos \( x = 0 \):<br /> \[<br /> y = 5 - 6c<br /> \]<br /> Portanto, o ponto \( Q \) é \( (0, 5 - 6c) \).<br /><br />3. **Condição para a origem ser o ponto médio de \( PQ \):** <br /> A origem \( (0, 0) \) deve ser o ponto médio do segmento \( PQ \). O ponto médio \( M \) de \( P(0, 10 + c) \) e \( Q(0, 5 - 6c) \) é dado por:<br /> \[<br /> M = \left( \frac{0 + 0}{2}, \frac{(10 + c) + (5 - 6c)}{2} \right) = \left( 0, \frac{15 - 5c}{2} \right)<br /> \]<br /> Para que a origem seja o ponto médio, devemos ter:<br /> \[<br /> \frac{15 - 5c}{2} = 0<br /> \]<br /> Resolvendo para \( c \):<br /> \[<br /> 15 - 5c = 0 \\<br /> 5c = 15 \\<br /> c = 3<br /> \]<br /><br />Portanto, o valor de \( c \) deve ser \( \boxed{3} \).