6. operatorname(send) 0 z_(1)=7+5 i e z_(2)=1-i , determine: a. z_(3) (z_(1))/(z_(2)) b. bar(z) times bar(z)_(3)-z_(1)

Para resolver as expressões fornecidas, vamos seguir os passos necessários para cada uma delas.<br /><br />### Parte a: \( z_{3} = \frac{z_{1}}{z_{2}} \)<br /><br />Dado:<br />- \( z_{1} = 7 + 5i \)<br />- \( z_{2} = 1 - i \)<br /><br />Para calcular \( z_{3} \), precisamos dividir \( z_{1} \) por \( z_{2} \). Isso pode ser feito multiplicando o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador.<br /><br />Conjugado de \( z_{2} \) é \( \bar{z}_{2} = 1 + i \).<br /><br />Então:<br />\[ z_{3} = \frac{z_{1}}{z_{2}} = \frac{7 + 5i}{1 - i} \times \frac{1 + i}{1 + i} \]<br /><br />Calculando o numerador:<br />\[ (7 + 5i)(1 + i) = 7 \cdot 1 + 7 \cdot i + 5i \cdot 1 + 5i \cdot i = 7 + 7i + 5i + 5i^2 = 7 + 12i - 5 = 2 + 12i \]<br /><br />Calculando o denominador:<br />\[ (1 - i)(1 + i) = 1 \cdot 1 + 1 \cdot i - i \cdot 1 - i \cdot i = 1 + i - i - i^2 = 1 - (-1) = 2 \]<br /><br />Portanto:<br />\[ z_{3} = \frac{2 + 12i}{2} = 1 + 6i \]<br /><br />### Parte b: \( \bar{z} \times \bar{z}_{3} - z_{1} \)<br /><br />Primeiro, precisamos calcular \( \bar{z} \) e \( \bar{z}_{3} \).<br /><br />Conjugado de \( z \) (assumindo que \( z \) é uma variável genérica):<br />\[ \bar{z} \]<br /><br />Conjugado de \( z_{3} \):<br />\[ \bar{z}_{3} = \bar{1 + 6i} = 1 - 6i \]<br /><br />Agora, calculamos \( \bar{z} \times \bar{z}_{3} \):<br />\[ \bar{z} \times (1 - 6i) \]<br /><br />Para simplificar, precisamos saber o valor de \( \bar{z} \). Como \( \bar{z} \) não foi fornecido, vamos considerar \( \bar{z} = a + bi \), onde \( a \) e \( b \) são constantes reais.<br /><br />Então:<br />\[ \bar{z} \times (1 - 6i) = (a + bi)(1 - 6i) \]<br /><br />Calculando o produto:<br />\[ (a + bi)(1 - 6i) = a \cdot 1 + a \cdot (-6i) + bi \cdot 1 + bi \cdot (-6i) \]<br />\[ = a - 6ai + bi - 6bi^2 \]<br />\[ = a - 6ai + bi - 6b(-1) \]<br />\[ = a - 6ai + bi + 6b \]<br />\[ = (a + 6b) + (-6a + b)i \]<br /><br />Portanto:<br />\[ \bar{z} \times \bar{z}_{3} = (a + 6b) + (-6a + b)i \]<br /><br />Agora, subtraímos \( z_{1} \):<br />\[ z_{1} = 7 + 5i \]<br /><br />Então:<br />\[ (a + 6b) + (-6a + b)i - (7 + 5i) \]<br />\[ = (a + 6b - 7) + (-6a + b - 5)i \]<br /><br />Portanto, a expressão final é:<br />\[ (a + 6b - 7) + (-6a + b - 5)i \]<br /><br />Sem valores específicos para \( \bar{z} \), essa é a forma simplificada da expressão.