32. Sabendo que xin [0,2pi [ resolva a equação cos3x=senx Use sen x=cos((pi )/(2)-x)

Para resolver a equação \( \cos(3x) = \sin(x) \) no intervalo \( [0, 2\pi[ \), podemos usar a identidade trigonométrica \( \sin(x) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) \). Substituindo isso na equação, temos:<br /><br />\[ \cos(3x) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) \]<br /><br />Para resolver essa equação, podemos usar a propriedade dos cosenos iguais: \( \cos(A) = \cos(B) \) implica que \( A = 2k\pi \pm B \), onde \( k \) é um inteiro. Aplicando isso à nossa equação, temos:<br /><br />\[ 3x = 2k\pi \pm \left(\frac{\pi}{2} - x\right) \]<br /><br />Resolvendo essa equação para \( x \), encontramos as soluções:<br /><br />\[ x = \frac{\pi}{18} + \frac{2k\pi}{3} \quad \text{ou} \quad x = -\frac{\pi}{6} + \frac{2k\pi}{3} \]<br /><br />Portanto, as soluções para a equação \( \cos(3x) = \sin(x) \) no intervalo \( [0, 2\pi[ \) são:<br /><br />\[ x = \frac{\pi}{18} + \frac{2k\pi}{3} \quad \text{ou} \quad x = -\frac{\pi}{6} + \frac{2k\pi}{3} \]<br /><br />onde \( k \) é um inteiro.