Pergunta
Exercice (1) A) on considère la suite numérique définie par: [ forall n in mathbb(N), u_(n)=(3 n+1)/(n+1) ] 1 - Calculer u_(0), u_(2), u_(2) et u_(3) 2. Montrer que forall n in mathbb(N), u_(n) leqslant 3 3 - a) Montrer que (mathrm(Un)) ert une suite croissante. b) Déduire que forall n in mathbb(N), u_(n) geqslant 1 c) Déduire que la suite (u_(n)) est bornée B) soit (v_(n)) une suite numérique dont les 6 premier termes sout 1-7-13-19-25-31 quelle est la nature de la suite (v_(n)) en déterminantes caractéristiques.
Solução
Verification of experts
4.5241 Voting
TeresaProfissional · Tutor por 6 anos
Responder
Exercice (1)<br /><br />A) <br />1. Calculons \( u_{0}, u_{1}, u_{2} \) et \( u_{3} \) :<br /> \[<br /> \begin{align*}<br /> u_{0} &= \frac{3 \cdot 0 + 1}{0 + 1} = 1 \\<br /> u_{1} &= \frac{3 \cdot 1 + 1}{1 + 1} = \frac{4}{2} = 2 \\<br /> u_{2} &= \frac{3 \cdot 2 + 1}{2 + 1} = \frac{7}{3} \\<br /> u_{3} &= \frac{3 \cdot 3 + 1}{3 + 1} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}<br /> \end{align*}<br /> \]<br /><br />2. Montrons que \( \forall n \in \mathbb{N}, u_{n} \leqslant 3 \) :<br /> \[<br /> \begin{align*}<br /> u_{n} &= \frac{3n + 1}{n + 1} \\<br /> &= \frac{3(n + 1) - 2}{n + 1} \\<br />&= 3 - \frac{2}{n + 1}<br />\end{align*}<br /> \]<br /> Puisque \( \frac{2}{n + 1} \) est toujours positif pour tout \( n \in \mathbb{N} \), nous avons \( u_{n} \leqslant 3 \).<br /><br />3. <br /> a) Montrons que \( (u_{n}) \) est une suite croissante :<br /> \[<br /> \begin{align*}<br /> u_{n+1} - u_{n} &= \frac{3(n+1) + 1}{(n+1) + 1} - \frac{3n + 1}{n + 1} \\<br />&= \frac{3n + 4}{n + 2} - \frac{3n + 1}{n + 1} \\<br />&= \frac{(3n + 4)(n + 1) - (3n + 1)(n + 2)}{(n + 2)(n + 1)} \\<br />&= \frac{3n^2 + 7n + 4 - 3n^2 - 7n - 2}{(n + 2)(n + 1)} \\<br />&= \frac{2}{(n + 2)(n + 1)} > 0<br />\end{align*}<br /> \]<br /> Donc, \( (u_{n}) \) est une suite croissante.<br /><br /> b) Déduisons que \( \forall n \in \mathbb{N}, u_{n} \geqslant 1 \) :<br /> Puisque \( (u_{n}) \) est une suite croissante et \( u_{0} = 1 \), nous avons \( \forall n \in \mathbb{N}, u_{n} \geqslant 1 \).<br /><br /> c) Déduisons que la suite \( (u_{n}) \) est bornée :<br /> Puisque \( (u_{n}) \) est une suite croissante et bornée supérieurement par 3, elle est bornée.<br /><br />B) <br />La suite \( (v_{n}) \) est définie par les 6 premiers termes \( 1-7-13-19-25-31 \). En déterminant les caractéristiques, nous pouvons voir que la différence entre les termes consécutifs est constante, donc \( (v_{n}) \) est une suite arithmétique.
Clique para avaliar: