1) Resolva as seguintes expressões: a) 2^x=512 b) 3^x=729 C) ((1)/(5))^x=625 d) (sqrt [3](2))^x=64 e) (sqrt [4](3))^x=sqrt [3](81) f) 8^x=0,125

Vamos resolver cada uma das expressões:<br /><br />a) \(2^{x} = 512\)<br /><br />Para resolver essa equação, precisamos encontrar o valor de \(x\) que satisfaz a igualdade. Podemos fazer isso aplicando o logaritmo em ambos os lados da equação:<br /><br />\[<br />\log(2^{x}) = \log(512)<br />\]<br /><br />Usando a propriedade do logaritmo que diz que \(\log(a^b) = b \log(a)\), temos:<br /><br />\[<br />x \log(2) = \log(512)<br />\]<br /><br />Sabemos que \(512 = 2^9\), então \(\log(512) = \log(2^9) = 9 \log(2)\). Portanto:<br /><br />\[<br />x \log(2) = 9 \log(2)<br />\]<br /><br />Dividindo ambos os lados por \(\log(2)\):<br /><br />\[<br />x = 9<br />\]<br /><br />Portanto, a solução para a expressão é \(x = 9\).<br /><br />b) \(3^{x} = 729\)<br /><br />Aplicando o logaritmo em ambos os lados da equação:<br /><br />\[<br />\log(3^{x}) = \log(729)<br />\]<br /><br />Usando a propriedade do logaritmo:<br /><br />\[<br />x \log(3) = \log(729)<br />\]<br /><br />Sabemos que \(729 = 3^6\), então \(\log(729) = \log(3^6) = 6 \log(3)\). Portanto:<br /><br />\[<br />x \log(3) = 6 \log(3)<br />\]<br /><br />Dividindo ambos os lados por \(\log(3)\):<br /><br />\[<br />x = 6<br />\]<br /><br />Portanto, a solução para a expressão é \(x = 6\).<br /><br />c) \(\left(\frac{1}{5}\right)^{x} = 625\)<br /><br />Aplicando o logaritmo em ambos os lados da equação:<br /><br />\[<br />\log\left(\left(\frac{1}{5}\right)^{x}\right) = \log(625)<br />\]<br /><br />Usando a propriedade do logaritmo:<br /><br />\[<br />x \log\left(\frac{1}{5}\right) = \log(625)<br />\]<br /><br />Sabemos que \(625 = 5^4\), então \(\log(625) = \log(5^4) = 4 \log(5)\). Portanto:<br /><br />\[<br />x \log\left(\frac{1}{5}\right) = 4 \log(5)<br />\]<br /><br />Sabemos que \(\log\left(\frac{1}{5}\right) = -\log(5)\). Portanto:<br /><br />\[<br />x (-\log(5)) = 4 \log(5)<br />\]<br /><br />Dividindo ambos os lados por \(-\log(5)\):<br /><br />\[<br />x = -4<br />\]<br /><br />Portanto, a solução para a expressão é \(x = -4\).<br /><br />d) \(\left(\sqrt[3]{2}\right)^{x} = 64\)<br /><br />Aplicando o logaritmo em ambos os lados da equação:<br /><br />\[<br />\log\left(\left(\sqrt[3]{2}\right)^{x}\right) = \log(64)<br />\]<br /><br />Usando a propriedade do logaritmo:<br /><br />\[<br />x \log\left(\sqrt[3]{2}\right) = \log(64)<br />\]<br /><br />Sabemos que \(\sqrt[3]{2} = 2^{1/3}\), então \(\log\left(\sqrt[3]{2}\right) = \log\left(2^{1/3}\right) = \frac{1}{3} \log(2)\). Portanto:<br /><br />\[<br />x \cdot \frac{1}{3} \log(2) = \log(64)<br />\]<br /><br />Sabemos que \(64 = 2^6\), então \(\log(64) = 6 \log(2)\). Portanto:<br /><br />\[<br />x \cdot \frac{1}{3} \log(2) = 6 \log(2)<br />\]<br /><br />Dividindo ambos os lados por \(\log(2)\):<br /><br />\[<br />x \cdot \frac{1}{3} = 6<br />\]<br /><br />Multiplicando ambos os lados por 3:<br /><br />\[<br />x = 18<br />\]<br /><br />Portanto, a solução para a expressão é \(x = 18\).<br /><br />e) \(\left(\sqrt[4]{3}\right)^{x} = \sqrt[3]{81}\)<br /><br />Aplicando o logaritmo em ambos os lados