52)(UEPA-2001) Uma fábrica de azeite usa, para embalar sua latas de 2240 ml com a forma de um paralelepípe do reto-retângulo cujas dimensõ es estão em progressão (P.A.) e somam 42 cm . Decide mudar a embalagem, passando a usar latas cilíndricas com 3 dm de altura e 1 dm de diâmetro . Entre as duas latas, uma de cada tipo, calcule qual a mais vantajosa para essa industria ,levando em consideração 0 material gasto para a confecção e a capacidade das mesmas Cuse pi =3.14

Para determinar qual tipo de lata é mais vantajosa para a indústria, precisamos calcular a área total de material gasto para a confecção de cada tipo de lata e comparar a capacidade de armazenamento de cada uma.<br /><br />Para a lata de forma paralelepípe do retângulo, as dimensões estão em progressão aritmética (P.A.). Sabemos que a soma das dimensões é 42 cm. Vamos chamar as dimensões de a, b e c. Temos:<br /><br />a + b + c = 42<br /><br />Como a, b e c formam uma P.A., podemos escrever:<br /><br />b = a + d<br />c = a + 2d<br /><br />Substituindo na soma das dimensões:<br /><br />a + (a + d) + (a + 2d) = 42<br />3a + 3d = 42<br />a + d = 14<br /><br />A área total de material gasto para a confecção da lata de forma paralelepípe é dada pela fórmula:<br /><br />Área = 2(ab + bc + ac)<br /><br />Para a lata cilíndrica, a altura é 3 dm e o diâmetro é 1 dm, então o raio é 0,5 dm. A área total de material gasto para a confecção da lata cilíndrica é dada pela fórmula:<br /><br />Área = 2πrh + 2πr²<br /><br />A capacidade de armazenamento da lata de forma paralelepípe é dada pelo produto das dimensões:<br /><br />Capacidade = a * b * c<br /><br />A capacidade de armazenamento da lata cilíndrica é dada pela fórmula:<br /><br />Capacidade = πr²h<br /><br />Agora, vamos calcular a área total de material gasto e a capacidade de armazenamento para cada tipo de lata e comparar os resultados.<br /><br />Para a lata de forma paralelepípe:<br /><br />Área = 2(a(a + d) + (a + d)(a + 2d) + a(a + 2d))<br />Área = 2(a² + ad + a² + 3ad + 2a² + 4ad + 2ad)<br />Área = 2(5a² + 9ad)<br />Área = 10a² + 18ad<br /><br />Capacidade = a(a + d)(a + 2d)<br /><br />Para a lata cilíndrica:<br /><br />Área = 2π(0,5)(3) + 2π(0,5)²<br />Área = 3π + π<br />Área = 4π<br /><br />Capacidade = π(0,5)²(3)<br /><br />Agora, vamos comparar a área total de material gasto e a capacidade de armazenamento para cada tipo de lata. A lata mais vantajosa será aquela que tiver a menor área total de material gasto e a maior capacidade de armazenamento.<br /><br />Para a lata de forma paralelepípe:<br /><br />Área total de material gasto = 10a² + 18ad<br />Capacidade de armazenamento = a(a + d)(a + 2d)<br /><br />Para a lata cilíndrica:<br /><br />Área total de material gasto = 4π<br />Capacidade de armazenamento = π(0,5)²(3)<br /><br />Agora, podemos comparar as duas latas e determinar qual é mais vantajosa para a indústria.