Do triângulo ABC , sabe-se que overrightarrow (CM)=(1)/(2)overrightarrow (CB) e overrightarrow (CN)=(1)/(3)overrightarrow (CB) As expressões __ dos vetores overrightarrow (AN) e overrightarrow (AM) em função de overrightarrow (AC) e overrightarrow (AB) são respectivamente: overrightarrow (AN)=(2)/(3)overrightarrow (AC)+(1)/(3)overrightarrow (AB) e overrightarrow (AM)=(1)/(2)(overrightarrow (AC)+overrightarrow (AB))

Para encontrar as expressões dos vetores \(\overrightarrow{AN}\) e \(\overrightarrow{AM}\) em função de \(\overrightarrow{AC}\) e \(\overrightarrow{AB}\), podemos usar a relação entre os pontos dados.<br /><br />1. **Para \(\overrightarrow{AN}\):**<br /><br /> Sabemos que \(\overrightarrow{CN} = \frac{1}{3}\overrightarrow{CB}\). Assim, \(N\) divide o segmento \(CB\) na razão \(1:2\).<br /><br /> Podemos escrever:<br /> \[<br /> \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CN}<br /> \]<br /><br /> Como \(\overrightarrow{CN} = \frac{1}{3}\overrightarrow{CB}\), temos:<br /> \[<br /> \overrightarrow{CB} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}<br /> \]<br /> \[<br /> \overrightarrow{CN} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC})<br /> \]<br /><br /> Substituindo na expressão de \(\overrightarrow{AN}\):<br /> \[<br /> \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AC} + \frac{1}{3}(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC})<br /> \]<br /> \[<br /> \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AC} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}<br /> \]<br /> \[<br /> \overrightarrow{AN} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AC} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AB}<br /> \]<br /><br />2. **Para \(\overrightarrow{AM}\):**<br /><br /> Sabemos que \(\overrightarrow{CM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{CB}\). Assim, \(M\) divide o segmento \(CB\) na razão \(1:1\).<br /><br /> Podemos escrever:<br /> \[<br /> \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CM}<br /> \]<br /><br /> Como \(\overrightarrow{CM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{CB}\), temos:<br /> \[<br /> \overrightarrow{CM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC})<br /> \]<br /><br /> Substituindo na expressão de \(\overrightarrow{AM}\):<br /> \[<br /> \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AC} + \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC})<br /> \]<br /> \[<br /> \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} - \frac{1}{2}\overrightarrow{AC}<br /> \]<br /> \[<br /> \overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}<br /> \]<br /><br />Portanto, as expressões dos vetores são:<br /><br />- \(\overrightarrow{AN} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AC} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AB}\)<br />- \(\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AB})\)