[ y^prime prime+9 y=e^-2 x ] Uhando o róétodo do arpeaiz indeter minado.

Para resolver a equação diferencial \( y'' + 9y = e^{-2x} \) usando o método dos coeficientes indeterminados, seguimos os seguintes passos:<br /><br />1. **Resolver a equação homogênea associada**:<br /> A equação homogênea é \( y'' + 9y = 0 \).<br /> A solução característica é obtida resolvendo \( r^2 + 9 = 0 \), que resulta em \( r = \pm 3i \).<br /> Portanto, a solução geral da homogênea é:<br /> \[<br /> y_h(x) = C_1 \cos(3x) + C_2 \sin(3x)<br /> \]<br /><br />2. **Propor uma solução particular para a equação não homogênea**:<br /> Dado que o termo não homogêneo é \( e^{-2x} \), propomos uma solução particular da forma:<br /> \[<br /> y_p(x) = Ae^{-2x}<br /> \]<br /> onde \( A \) é uma constante a ser determinada.<br /><br />3. **Substituir \( y_p(x) \) na equação original**:<br /> Calculamos as derivadas de \( y_p(x) \):<br /> \[<br /> y_p'(x) = -2Ae^{-2x}<br /> \]<br /> \[<br /> y_p''(x) = 4Ae^{-2x}<br /> \]<br /> Substituímos \( y_p(x) \), \( y_p'(x) \) e \( y_p''(x) \) na equação original:<br /> \[<br /> 4Ae^{-2x} + 9(Ae^{-2x}) = e^{-2x}<br /> \]<br /> Simplificando, obtemos:<br /> \[<br /> (4A + 9A)e^{-2x} = e^{-2x}<br /> \]<br /> \[<br /> 13A e^{-2x} = e^{-2x}<br /> \]<br /> Dividindo ambos os lados por \( e^{-2x} \), temos:<br /> \[<br /> 13A = 1<br /> \]<br /> \[<br /> A = \frac{1}{13}<br /> \]<br /><br />4. **Escrever a solução geral da equação não homogênea**:<br /> A solução geral é a soma da solução homogênea e da solução particular:<br /> \[<br /> y(x) = y_h(x) + y_p(x)<br /> \]<br /> \[<br /> y(x) = C_1 \cos(3x) + C_2 \sin(3x) + \frac{1}{13} e^{-2x}<br /> \]<br /><br />Portanto, a solução geral da equação diferencial dada é:<br />\[<br />y(x) = C_1 \cos(3x) + C_2 \sin(3x) + \frac{1}{13} e^{-2x}<br />\]